Какова длина радиуса сектора, если его площадь составляет 54п и центральный угол равен 60 градусам?

Для того чтобы найти длину радиуса сектора, нам нужно использовать формулу площади сектора и зависимость между центральным углом и длиной дуги.

1. Формула площади сектора:
Площадь сектора вычисляется по формуле \(S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол в градусах, \(r\) - радиус сектора, и \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

2. Зависимость между центральным углом и длиной дуги:
Длина дуги \(L\) сектора связана с его центральным углом \(\theta\) и радиусом сектора \(r\) следующим образом: \(L = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r\).

Теперь давайте применим эти формулы к нашей задаче:

Дано:
Площадь сектора \(S = 54\pi\) (площадь равна 54пи)
Центральный угол \(\theta = 60^\circ\)

1. Найдем длину дуги \(L\) по формуле:
\(L = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r\)
Подставим известные значения:
\(L = \frac{{60^\circ}}{{360^\circ}} \cdot 2\pi r \)
\(L = \frac{1}{6} \cdot 2\pi r \)
\(L = \frac{\pi}{3}r\)

2. Теперь воспользуемся формулой площади сектора:
\(S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\)
Подставим известные значения:
\(54\pi = \frac{{60^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\)
\(54 = \frac{1}{6} \cdot r^2\)
Умножим обе стороны на 6:
\(324 = r^2\)
Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\(r = \sqrt{324}\)
\(r = 18\)

Таким образом, длина радиуса сектора равна 18.