Какова площадь равнобедренной трапеции ABCD с высотой BH, которая делит большее основание на отрезки AH=14, HD=20

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать некоторые свойства равнобедренных трапеций. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения фигуры. Нам дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть H - точка пересечения высоты BH с большим основанием CD.

2. Заметим, что по условию задачи высота BH делит большее основание CD на отрезки AH и HD длиной 14 и 20 соответственно. Теперь добавим это нашему рисунку.

3. Обратим внимание на угол BAD, который равен 45 градусов. Это означает, что угол BCD тоже равен 45 градусов, так как BC и AD - равные стороны трапеции. Занесем это в наш рисунок.

4. Поскольку угол BCD равен 45 градусам, мы можем использовать свойства равнобедренной трапеции для вычисления других углов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то углы AHB и BHD равны 180 - 45 = 135 градусов каждый. Добавим эти углы на рисунок.

5. Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем приступить к вычислению площади трапеции.

Площадь трапеции можно вычислить, используя формулу:
\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2},\]
где a и b - длины оснований, h - высота трапеции.

6. В нашем случае, из условия задачи мы уже знаем, что AH = 14 и HD = 20, поэтому длины оснований будут a = AH + HD = 14 + 20 = 34 и b = CD.

Чтобы найти длину CD, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В этом треугольнике у нас есть катеты BC и CD, а угол BCD равен 45 градусам. Таким образом, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длину CD.

Заметим, что BC = AD и угол BCD = 45 градусов. Тогда, по теореме синусов, мы можем записать:
\[\frac{{BC}}{{\sin(45^\circ)}} = \frac{{CD}}{{\sin(90^\circ)}}.\]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), то получаем:
\[BC = CD \cdot \sin(45^\circ).\]

Так как BC = AD, то мы можем записать:
\[AD = CD \cdot \sin(45^\circ).\]

Теперь, чтобы найти CD, решим это уравнение:
\[CD = \frac{{AD}}{{\sin(45^\circ)}}.\]

7. Мы знаем, что AD = AH + HD, подставим значения:
\[CD = \frac{{(AH + HD)}}{{\sin(45^\circ)}}.\]

Посчитаем:
\[CD = \frac{{(14 + 20)}}{{\sin(45^\circ)}}.\]

Значение синуса 45 градусов равно \(\sqrt{2}/2\), поэтому:
\[CD = \frac{{34}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}.\]

Заметим, что \(\frac{{34}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}} = 34 \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{2}}} = 34 \cdot \frac{{2 \cdot \sqrt{2}}}{{2}} = 34 \sqrt{2}\), поэтому:
\[CD = 34\sqrt{2}.\]

8. Теперь у нас есть все значения, чтобы вычислить площадь трапеции:
\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} = \frac{{(34 + 34\sqrt{2}) \cdot BH}}{2} = \frac{{34(1 + \sqrt{2}) \cdot BH}}{2} = 17(1 + \sqrt{2}) \cdot BH.\]

Подставим значение BH из условия задачи:
\[S = 17(1 + \sqrt{2}) \cdot 20 = 340(1 + \sqrt{2}).\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции ABCD с высотой BH, которая делит большее основание на отрезки AH=14, HD=20 и угол BAD=45 градусов, равна 340(1 + \sqrt{2}).