Какова площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, вершины гипотенузы которого имеют координаты (3; -1)?

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади треугольника и свойств равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула площади треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
где $S$ - площадь треугольника, $a$ - основание треугольника, $h$ - высота треугольника.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника, основание равно одному из катетов, а высота проходит через вершину, лежащую на гипотенузе.

Для начала найдем длину катета треугольника. Мы можем использовать координаты вершины на гипотенузе (3; -1), чтобы определить длину гипотенузы.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы равна
$$c=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
где $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ - координаты двух точек на гипотенузе треугольника.

В нашем случае, $(x_1;y_1)=(0;0)$ - начало координат, $(x_2;y_2)=(3;-1)$ - вершина треугольника. Подставим значения в формулу:
$$c=\sqrt{(3-0{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$$

Таким образом, длина катета треугольника равна $\sqrt{10}$. Далее, нам нужно найти длину высоты треугольника, проходящей через вершину треугольника. Мы можем использовать координаты вершины и формулу для расстояния между точками.

Расстояние между точками двумерного пространства можно найти с помощью формулы:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
где $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ - координаты двух точек.

В нашем случае, $(x_1;y_1)=(0;0)$ - начало координат, $(x_2;y_2)=(3;-1)$ - вершина треугольника. Подставим значения в формулу:
$$d=\sqrt{(3-0{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$$

Таким образом, длина высоты треугольника равна $\sqrt{10}$.

Теперь у нас есть основание треугольника, равное катету с длиной $\sqrt{10}$, и высота, равная $\sqrt{10}$. Подставим эти значения в формулу площади треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=\frac{1}{2}\cdot 10=5$$

Ответ: площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет 5 единиц квадратных.