Какова площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, вершины гипотенузы которого имеют координаты (3; -1)?

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади треугольника и свойств равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - основание треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника, основание равно одному из катетов, а высота проходит через вершину, лежащую на гипотенузе.

Для начала найдем длину катета треугольника. Мы можем использовать координаты вершины на гипотенузе (3; -1), чтобы определить длину гипотенузы.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы равна
\[c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты двух точек на гипотенузе треугольника.

В нашем случае, \((x_1; y_1) = (0; 0)\) - начало координат, \((x_2; y_2) = (3; -1)\) - вершина треугольника. Подставим значения в формулу:
\[c = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\]

Таким образом, длина катета треугольника равна \(\sqrt{10}\). Далее, нам нужно найти длину высоты треугольника, проходящей через вершину треугольника. Мы можем использовать координаты вершины и формулу для расстояния между точками.

Расстояние между точками двумерного пространства можно найти с помощью формулы:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты двух точек.

В нашем случае, \((x_1; y_1) = (0; 0)\) - начало координат, \((x_2; y_2) = (3; -1)\) - вершина треугольника. Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\]

Таким образом, длина высоты треугольника равна \(\sqrt{10}\).

Теперь у нас есть основание треугольника, равное катету с длиной \(\sqrt{10}\), и высота, равная \(\sqrt{10}\). Подставим эти значения в формулу площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\]

Ответ: площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет 5 единиц квадратных.