Какова площадь прямоугольного треугольника с катетом, равным 35, и углом, напротив которого равен 45 градусам?

Конечно! Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать значения его катетов или гипотенузы. В данной задаче у нас есть один катет равной длины 35 и угол противолежащий этому катету равен 45 градусам.

Для начала, нам необходимо найти длину гипотенузы треугольника. Для этого мы можем использовать тригонометрический закон синусов, который гласит: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\), где \(a\) - длина стороны противолежащей углу \(A\), \(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\).

В нашем случае у нас есть катет длиной 35 и угол противолежащий этому катету равен 45 градусам. Пусть \(a\) будет нашим катетом, а \(c\) - гипотенузой. Заменим значения в формуле и найдем длину гипотенузы:

\(\frac{35}{\sin 45} = \frac{c}{\sin 90}\)

\(\frac{35}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{1}\)

\(c = 35 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{70}{\sqrt{2}}\)

Теперь, когда у нас есть длина гипотенузы, мы можем использовать формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

В нашем случае, один из катетов равен 35, а гипотенуза равна \(\frac{70}{\sqrt{2}}\). Подставим значения в формулу:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{70}{\sqrt{2}}\)

Для удобства вычислений, разделим 70 на \(\sqrt{2}\):

\(S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{70}{\sqrt{2}} = \frac{35 \cdot 70}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{35 \cdot 70}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2450 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2450 \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{1225 \cdot \sqrt{2}}{2}\)

Упростим дробь и округлим ответ до двух знаков после запятой:

\(S \approx \frac{1225 \cdot 1.41}{2} \approx \frac{1724.25}{2} \approx 862.13\)

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника с катетом, равным 35, и углом, напротив которого равен 45 градусам, составляет около 862.13 квадратных единиц.