Какова площадь прямоугольника, состоящего из клеток 1×1, у которого периметр равен 46 и в котором закрашены две строки

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь прямоугольника по его периметру и информации о закрашенных клетках.

Периметр прямоугольника можно выразить следующим образом:
$$P=2(a+b),$$
где $a$ и $b$ - длины сторон прямоугольника.

Мы также знаем, что закрашены две строки и три столбца, и всего закрашено 50 клеток.

Определим предполагаемые размеры прямоугольника:
- Пусть длина прямоугольника будет $a$ клеток, а ширина - $b$ клеток.
- Закрашены две строки и три столбца, поэтому $a+2=$ количество строк, а $b+3=$ количество столбцов.

Теперь мы можем записать периметр через предполагаемые размеры:
$$P=2(a+b)=2(a+(b+3))=2(a+b+3).$$

Из условия задачи мы знаем, что периметр равен 46, поэтому мы можем записать уравнение:
$$46=2(a+b+3).$$

Теперь найдём площадь прямоугольника, зная, что закрашено 50 клеток. Площадь прямоугольника можно выразить следующим образом:
$$S=a\cdot b.$$

Итак, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными $(a$ и $b)$. Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения $a$ и $b$.

1. Решение уравнения периметра:
$$46=2(a+b+3).$$
Раскроем скобки:
$$46=2a+2b+6.$$
Вычтем 6 с обеих сторон:
$$40=2a+2b.$$
Разделим обе части на 2:
$$20=a+b.$$

2. Решение уравнения площади:
$$S=a\cdot b=50.$$

Теперь, используя результат из первого уравнения $a+b=20$, мы можем выразить одну переменную через другую. Допустим, выразим $b$ через $a$:
$$b=20-a.$$

Подставим это в уравнение площади:
$$S=a\cdot (20-a)=50.$$
$$20a-a^2=50.$$

Приведём это уравнение к квадратному виду:
$$a^2-20a+50=0.$$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Рассчитаем дискриминант:
$$D=b^2-4ac=(-20{)}^2-4\cdot 1\cdot 50=400-200=200.$$

Так как дискриминант положителен ($D>0$), уравнение имеет два корня. Найдем значения $a$:
$$a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-20)\pm \sqrt{200}}{2\cdot 1}=\frac{20\pm 10\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ через $b=20-a$:
$$b_1=20-a_1=20-\frac{20+10\sqrt{2}}{2}=10-5\sqrt{2},$$
$$b_2=20-a_2=20-\frac{20-10\sqrt{2}}{2}=10+5\sqrt{2}.$$

Мы получили две пары значений $(a_1,b_1)$ и $(a_2,b_2)$, которые являются длиной и шириной прямоугольника. Мы можем применить эти значения, чтобы посчитать площадь $S$ для обоих случаев.

Для первой пары значений $(a_1,b_1)$:
$$S_1=a_1\cdot b_1=\left(\frac{20+10\sqrt{2}}{2}\right)\cdot (10-5\sqrt{2}).$$

Для второй пары значений $(a_2,b_2)$:
$$S_2=a_2\cdot b_2=\left(\frac{20-10\sqrt{2}}{2}\right)\cdot (10+5\sqrt{2}).$$

Итак, вычислив значения $S_1$ и $S_2$, мы найдем площадь прямоугольника для каждой из двух возможных комбинаций значений $a$ и $b$.