Какова площадь прямоугольника, состоящего из клеток 1×1, у которого периметр равен 46 и в котором закрашены две строки

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь прямоугольника по его периметру и информации о закрашенных клетках.

Периметр прямоугольника можно выразить следующим образом:
\[P = 2(a+b),\]
где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

Мы также знаем, что закрашены две строки и три столбца, и всего закрашено 50 клеток.

Определим предполагаемые размеры прямоугольника:
- Пусть длина прямоугольника будет \(a\) клеток, а ширина - \(b\) клеток.
- Закрашены две строки и три столбца, поэтому \(a + 2 =\) количество строк, а \(b + 3 =\) количество столбцов.

Теперь мы можем записать периметр через предполагаемые размеры:
\[P = 2(a+b) = 2(a + (b+3)) = 2(a+b+3).\]

Из условия задачи мы знаем, что периметр равен 46, поэтому мы можем записать уравнение:
\[46 = 2(a+b+3).\]

Теперь найдём площадь прямоугольника, зная, что закрашено 50 клеток. Площадь прямоугольника можно выразить следующим образом:
\[S = a \cdot b.\]

Итак, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными \((a\) и \(b)\). Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения \(a\) и \(b\).

1. Решение уравнения периметра:
\[46 = 2(a+b+3).\]
Раскроем скобки:
\[46 = 2a + 2b + 6.\]
Вычтем 6 с обеих сторон:
\[40 = 2a + 2b.\]
Разделим обе части на 2:
\[20 = a + b.\]

2. Решение уравнения площади:
\[S = a \cdot b = 50.\]

Теперь, используя результат из первого уравнения \(a + b = 20\), мы можем выразить одну переменную через другую. Допустим, выразим \(b\) через \(a\):
\[b = 20 - a.\]

Подставим это в уравнение площади:
\[S = a \cdot (20 - a) = 50.\]
\[20a - a^2 = 50.\]

Приведём это уравнение к квадратному виду:
\[a^2 - 20a + 50 = 0.\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Рассчитаем дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 400 - 200 = 200.\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), уравнение имеет два корня. Найдем значения \(a\):
\[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{200}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 10\sqrt{2}}{2}.\]

Теперь найдем соответствующие значения \(b\) через \(b = 20 - a\):
\[b_1 = 20 - a_1 = 20 - \frac{20 + 10\sqrt{2}}{2} = 10 - 5\sqrt{2},\]
\[b_2 = 20 - a_2 = 20 - \frac{20 - 10\sqrt{2}}{2} = 10 + 5\sqrt{2}.\]

Мы получили две пары значений \((a_1, b_1)\) и \((a_2, b_2)\), которые являются длиной и шириной прямоугольника. Мы можем применить эти значения, чтобы посчитать площадь \(S\) для обоих случаев.

Для первой пары значений \((a_1, b_1)\):
\[S_1 = a_1 \cdot b_1 = \left(\frac{20 + 10\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (10 - 5\sqrt{2}).\]

Для второй пары значений \((a_2, b_2)\):
\[S_2 = a_2 \cdot b_2 = \left(\frac{20 - 10\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (10 + 5\sqrt{2}).\]

Итак, вычислив значения \(S_1\) и \(S_2\), мы найдем площадь прямоугольника для каждой из двух возможных комбинаций значений \(a\) и \(b\).