Какова площадь правильного пятиугольника, если его сторона составляет 3 см, а радиус вписанной окружности

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Первым шагом нам необходимо найти значение радиуса вписанной окружности в пятиугольник.
- Радиус вписанной окружности в правильный пятиугольник можно найти с помощью следующей формулы: \(r = \frac{a}{2 \cdot \tan{\frac{180}{n}}}\), где \(a\) - длина стороны пятиугольника, а \(n\) - количество сторон пятиугольника.
- В нашем случае, длина стороны \(a\) равна 3 см, а пятиугольник имеет 5 сторон.
- Подставив значения в формулу, получим: \(r = \frac{3}{2 \cdot \tan{\frac{180}{5}}}\).

2. Теперь, найдя значение радиуса вписанной окружности, мы можем найти площадь правильного пятиугольника.
- Площадь правильного пятиугольника можно найти с помощью следующей формулы: \(S = \frac{5 \cdot a \cdot r}{2}\), где \(a\) - длина стороны пятиугольника, а \(r\) - радиус вписанной окружности.
- В нашем случае, длина стороны \(a\) равна 3 см, а радиус вписанной окружности мы рассчитали на предыдущем шаге.
- Подставив значения в формулу, получим: \(S = \frac{5 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \tan{\frac{180}{5}}}}{2}\).

3. Теперь мы можем вычислить значение площади правильного пятиугольника.
- Расчитаем числитель: \(5 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2 \cdot \tan{\frac{180}{5}}} = \frac{45}{\tan{\frac{180}{5}}}\).
- Так как в тангенсе угла \(180/5\) содержится тангенс получим: \(S = \frac{45}{\tan{36}}\).

4. Чтобы вычислить численное значение площади правильного пятиугольника, нам нужно использовать калькулятор.
- Давайте вычислим значение площади, округлив его до двух десятичных знаков.
- Подставим значения и посчитаем: \(S \approx \frac{45}{0.7265} \approx 61.907\) (округлим до двух десятичных знаков).

Итак, ответ: площадь правильного пятиугольника, если его сторона составляет 3 см, а радиус вписанной окружности равен примерно 61.91 квадратным сантиметрам.