Какова площадь правильного пятиугольника, если его сторона составляет 3 см, а радиус вписанной окружности

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Первым шагом нам необходимо найти значение радиуса вписанной окружности в пятиугольник.
- Радиус вписанной окружности в правильный пятиугольник можно найти с помощью следующей формулы: $r=\frac{a}{2\cdot \tan \frac{180}{n}}$, где $a$ - длина стороны пятиугольника, а $n$ - количество сторон пятиугольника.
- В нашем случае, длина стороны $a$ равна 3 см, а пятиугольник имеет 5 сторон.
- Подставив значения в формулу, получим: $r=\frac{3}{2\cdot \tan \frac{180}{5}}$.

2. Теперь, найдя значение радиуса вписанной окружности, мы можем найти площадь правильного пятиугольника.
- Площадь правильного пятиугольника можно найти с помощью следующей формулы: $S=\frac{5\cdot a\cdot r}{2}$, где $a$ - длина стороны пятиугольника, а $r$ - радиус вписанной окружности.
- В нашем случае, длина стороны $a$ равна 3 см, а радиус вписанной окружности мы рассчитали на предыдущем шаге.
- Подставив значения в формулу, получим: $S=\frac{5\cdot 3\cdot \frac{3}{2\cdot \tan \frac{180}{5}}}{2}$.

3. Теперь мы можем вычислить значение площади правильного пятиугольника.
- Расчитаем числитель: $5\cdot 3\cdot \frac{3}{2\cdot \tan \frac{180}{5}}=\frac{45}{\tan \frac{180}{5}}$.
- Так как в тангенсе угла $180/5$ содержится тангенс получим: $S=\frac{45}{\tan 36}$.

4. Чтобы вычислить численное значение площади правильного пятиугольника, нам нужно использовать калькулятор.
- Давайте вычислим значение площади, округлив его до двух десятичных знаков.
- Подставим значения и посчитаем: $S\approx \frac{45}{0.7265}\approx 61.907$ (округлим до двух десятичных знаков).

Итак, ответ: площадь правильного пятиугольника, если его сторона составляет 3 см, а радиус вписанной окружности равен примерно 61.91 квадратным сантиметрам.