Какова площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность длиной 24П см? Приложите решение

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово для того, чтобы ответ был максимально понятен.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы должны найти площадь правильного двенадцатиугольника, который вписан в окружность длиной 24π см.

Шаг 2: Понимание правильного двенадцатиугольника
Правильный двенадцатиугольник - это фигура, у которой все стороны равны, а все углы также равны между собой.

Шаг 3: Разбиение фигуры на треугольники
Чтобы решить эту задачу, мы должны разбить правильный двенадцатиугольник на 12 равносторонних треугольников. Обратите внимание, что у нас 12 углов, каждый из которых составляет \(360^\circ / 12 = 30^\circ\).

Шаг 4: Нахождение стороны треугольника
Так как каждый угол треугольника равен \(30^\circ\), а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то внутренний угол треугольника будет равен \(180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Теперь мы знаем, что мы имеем равнобедренный треугольник с углами 30, 30 и 120 градусов.

Шаг 5: Рассчитываем сторону треугольника
Рассчитаем длину стороны треугольника. Если мы разделим одну из сторон равнобедренного треугольника пополам, то получим прямоугольный треугольник с углом \(30^\circ\) и противоположным катетом, равным половине длины стороны. Мы можем применить функцию синуса, чтобы найти длину противоположного катета. Синус угла \(30^\circ\) равен \(1/2\), поэтому половина длины стороны будет \(1/2 \times \text{сторона}\). Значит, единичной длиной будет \(\sqrt{3}/2\).

Шаг 6: Рассчитываем периметр
Теперь мы знаем длину одной стороны равнобедренного треугольника, а также то, что у нас 12 таких треугольников. Суммируем длины всех сторон правильного двенадцатиугольника, чтобы найти его периметр. Периметр равен длине стороны, умноженной на количество сторон, то есть \(12 \times \text{длина стороны}\).

Шаг 7: Рассчитываем площадь
Площадь правильного двенадцатиугольника можно выразить как произведение полупериметра \(s\) (половина периметра) на радиус окружности \(r\), в которую он вписан. Используем формулу для площади правильного многоугольника: \(S = sr\), где \(s\) - полупериметр, а \(r\) - радиус окружности.

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, давайте решим задачу.

Решение:
1. Найдем длину стороны треугольника:
\(\text{длина стороны} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{единичная длина}\)

2. Найдем периметр двенадцатиугольника:
\(\text{периметр} = 12 \times \text{длина стороны}\)

3. Рассчитаем полупериметр:
\(s = \frac{\text{периметр}}{2}\)

4. Рассчитаем площадь:
\(S = s \times r\)

Теперь, соберем все вместе и рассчитаем ответ.

Длина стороны треугольника:
\(\text{длина стороны} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{единичная длина} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Периметр двенадцатиугольника:
\(\text{периметр} = 12 \times \text{длина стороны} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)

Полупериметр:
\(s = \frac{\text{периметр}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)

Радиус окружности:
Мы знаем, что длина окружности связана с радиусом следующим образом: \(C = 2\pi r\).
Так как длина окружности равна 24π см, то:
\(24\pi = 2\pi r\).
Разделим обе стороны на 2π, чтобы получить радиус окружности:
\(r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12\).

Площадь:
\(S = s \times r = 3\sqrt{3} \times 12 = 36\sqrt{3}\).

Итак, площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность длиной 24π см, равна \(36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Надеюсь, это решение помогло вам разобраться с задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.