Какова площадь поверхности сферы, если радиусы сечений сферы двумя параллельными плоскостями равны 3 и 4

Для решения данной задачи воспользуемся следующими шагами.

1. Обозначим радиус сферы как \(R\).

2. Заметим, что сечения сферы, параллельные плоскостям, являются окружностями. Поскольку радиусы этих окружностей равны 3 и 4 см, мы можем записать следующие уравнения:

\[\pi r_1^2 = \pi (3\, \text{см})^2\]
\[\pi r_2^2 = \pi (4\, \text{см})^2\]

3. Далее, нам необходимо найти разницу между радиусами. Поскольку расстояние между этими плоскостями составляет 7 см, записываем уравнение:

\(r_2 - r_1 = 7\, \text{см}\)

4. Решим систему уравнений, полученную на шагах 2 и 3, чтобы найти значения \(r_1\) и \(r_2\).

\[\pi r_1^2 = \pi (3\, \text{см})^2\]
\[\pi r_2^2 = \pi (4\, \text{см})^2\]
\(r_2 - r_1 = 7\, \text{см}\)

На первом шаге заметим, что \(\pi\) сократится, поэтому исключим его:

\[r_1^2 = 3^2\]
\[r_2^2 = 4^2\]
\(r_2 - r_1 = 7\, \text{см}\)

Решая эти уравнения, получаем:

\[r_1 = \sqrt{9} = 3\, \text{см}\]
\[r_2 = \sqrt{16} = 4\, \text{см}\]

5. Теперь, чтобы найти площадь поверхности сферы, воспользуемся формулой для площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi R^2\]

6. Подставим значение радиуса \(R = \frac{r_1 + r_2}{2}\) в формулу для площади поверхности:

\[S = 4\pi \left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)^2\]

Подставляя значения \(r_1 = 3\) и \(r_2 = 4\), получаем:

\[S = 4\pi \left(\frac{3 + 4}{2}\right)^2\]

Выполняем вычисления:

\[S = 4\pi \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 4\pi \left(\frac{49}{4}\right) = \pi \cdot 49 = 49\pi\]

Таким образом, площадь поверхности сферы составляет \(49\pi\) квадратных сантиметров.