Какова площадь полной поверхности треугольной пирамиды со стороной основания в форме радиуса окружности, равного 4√3 см, и двугранным углом равным 30° при ребре основания?
Magicheskiy_Edinorog
Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Для начала, давайте определимся с понятием полной поверхности треугольной пирамиды. Полная поверхность треугольной пирамиды состоит из площадей всех ее боковых треугольников и площади основания.
У нас есть два параметра, которые нам даны: радиус окружности основания и двугранный угол при ребре основания. Давайте начнем с вычисления площади основания.
Для треугольной пирамиды с радиусом окружности основания \(r\) и двугранным углом \(\alpha\) при ребре основания, площадь ее основания может быть вычислена по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2\]
В нашем случае, радиус окружности основания равен \(4\sqrt{3}\) см, поэтому:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}(4\sqrt{3})^2\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 108\sqrt{3} \ \text{см}^2\]
Теперь перейдем к вычислению площади боковой поверхности треугольной пирамиды. Сначала нам нужно найти высоту этой пирамиды.
Высота пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора для треугольника, образованного радиусом окружности основания, ребром основания и половиной стороны основания. Обозначим высоту пирамиды как \(h\).
Мы знаем, что двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания равен 30°. Так как угол при основании равен 60°, то это равнобедренный треугольник. Тогда, соединяющая середину основания с вершиной равна высоте пирамиды. Обозначим сторону треугольника как \(a\).
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(4\sqrt{3}\) и углом, равным 30°. Так можно найти сторону треугольника:
\[a = \frac{{4\sqrt{3}}}{{\sin 30°}}\]
Вычисляя, получаем:
\[a = \frac{{4\sqrt{3}}}{{0.5}} = 8\sqrt{3} \ \text{см}\]
Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора:
\[h = \sqrt{{a^2 - \left(\frac{{r}}{2}\right)^2}}\]
Подставляя значения, получаем:
\[h = \sqrt{{(8\sqrt{3})^2 - \left(\frac{{4\sqrt{3}}}{2}\right)^2}}\]
Вычисляем:
\[h = \sqrt{{192 - 36}} = \sqrt{{156}} = 2\sqrt{{39}} \ \text{см}\]
Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды может быть вычислена по формуле:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times h\]
Для треугольной пирамиды периметр основания равен \(3 \times a\). Подставляя значения, получаем:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 8\sqrt{3} \times 2\sqrt{39}\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S_{\text{бок}} = 12\sqrt{3}\sqrt{39} \ \text{см}^2\]
Теперь у нас есть площадь основания (\(S_{\text{осн}}\)) и площадь боковой поверхности (\(S_{\text{бок}}\)), и мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды (\(S_{\text{полн}}\)):
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
Подставляя значения, получаем:
\[S_{\text{полн}} = 108\sqrt{3} + 12\sqrt{3}\sqrt{39}\]
Теперь мы можем сложить эти два выражения:
\[S_{\text{полн}} = 108\sqrt{3} + 12\sqrt{3}\sqrt{39}\]
\[S_{\text{полн}} \approx 108\sqrt{3} + 12 \times 6.2449979984\]
\[S_{\text{полн}} \approx 108\sqrt{3} + 74.9399759816\]
\[S_{\text{полн}} \approx 183.9399759816\sqrt{3} \ \text{см}^2\]
Таким образом, площадь полной поверхности треугольной пирамиды составляет приблизительно \(183.94\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.
Для начала, давайте определимся с понятием полной поверхности треугольной пирамиды. Полная поверхность треугольной пирамиды состоит из площадей всех ее боковых треугольников и площади основания.
У нас есть два параметра, которые нам даны: радиус окружности основания и двугранный угол при ребре основания. Давайте начнем с вычисления площади основания.
Для треугольной пирамиды с радиусом окружности основания \(r\) и двугранным углом \(\alpha\) при ребре основания, площадь ее основания может быть вычислена по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2\]
В нашем случае, радиус окружности основания равен \(4\sqrt{3}\) см, поэтому:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}(4\sqrt{3})^2\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 108\sqrt{3} \ \text{см}^2\]
Теперь перейдем к вычислению площади боковой поверхности треугольной пирамиды. Сначала нам нужно найти высоту этой пирамиды.
Высота пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора для треугольника, образованного радиусом окружности основания, ребром основания и половиной стороны основания. Обозначим высоту пирамиды как \(h\).
Мы знаем, что двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания равен 30°. Так как угол при основании равен 60°, то это равнобедренный треугольник. Тогда, соединяющая середину основания с вершиной равна высоте пирамиды. Обозначим сторону треугольника как \(a\).
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(4\sqrt{3}\) и углом, равным 30°. Так можно найти сторону треугольника:
\[a = \frac{{4\sqrt{3}}}{{\sin 30°}}\]
Вычисляя, получаем:
\[a = \frac{{4\sqrt{3}}}{{0.5}} = 8\sqrt{3} \ \text{см}\]
Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора:
\[h = \sqrt{{a^2 - \left(\frac{{r}}{2}\right)^2}}\]
Подставляя значения, получаем:
\[h = \sqrt{{(8\sqrt{3})^2 - \left(\frac{{4\sqrt{3}}}{2}\right)^2}}\]
Вычисляем:
\[h = \sqrt{{192 - 36}} = \sqrt{{156}} = 2\sqrt{{39}} \ \text{см}\]
Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды может быть вычислена по формуле:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times h\]
Для треугольной пирамиды периметр основания равен \(3 \times a\). Подставляя значения, получаем:
\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 8\sqrt{3} \times 2\sqrt{39}\]
Выполняя вычисления, получаем:
\[S_{\text{бок}} = 12\sqrt{3}\sqrt{39} \ \text{см}^2\]
Теперь у нас есть площадь основания (\(S_{\text{осн}}\)) и площадь боковой поверхности (\(S_{\text{бок}}\)), и мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды (\(S_{\text{полн}}\)):
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
Подставляя значения, получаем:
\[S_{\text{полн}} = 108\sqrt{3} + 12\sqrt{3}\sqrt{39}\]
Теперь мы можем сложить эти два выражения:
\[S_{\text{полн}} = 108\sqrt{3} + 12\sqrt{3}\sqrt{39}\]
\[S_{\text{полн}} \approx 108\sqrt{3} + 12 \times 6.2449979984\]
\[S_{\text{полн}} \approx 108\sqrt{3} + 74.9399759816\]
\[S_{\text{полн}} \approx 183.9399759816\sqrt{3} \ \text{см}^2\]
Таким образом, площадь полной поверхности треугольной пирамиды составляет приблизительно \(183.94\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
