Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром длиной

Для начала, давайте вспомним определение правильного тетраэдра. Правильный тетраэдр - это трехмерная геометрическая фигура, образованная четырьмя равносторонними треугольниками. У каждого треугольника на ребре тетраэдра общая вершина.

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра, мы должны сначала найти площади его граней, а затем сложить их все вместе.

Пусть \(a\) - длина ребра правильного тетраэдра. Мы хотим найти площадь каждой грани. Чтобы это сделать, давайте разобьем наш тетраэдр на четыре боковые грани и одну основную грань.

Боковые грани являются равносторонними треугольниками. Поэтому, чтобы найти площадь одной боковой грани, мы можем использовать формулу площади равностороннего треугольника:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

У нас есть четыре боковые грани, так что общая площадь боковых граней будет:

\[
S_{\text{боковые}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} = a^2 \sqrt{3}
\]

Теперь давайте найдем площадь основной грани. Основная грань - это равносторонний треугольник со стороной \(a\). Поэтому площадь основной грани будет:

\[
S_{\text{основная}} = \frac{{a \cdot a \sqrt{3}}}{4} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности тетраэдра, мы просто складываем площадь боковых граней и основную грань:

\[
S_{\text{полная}} = S_{\text{боковые}} + S_{\text{основная}} = a^2 \sqrt{3} + \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Для того чтобы упростить это выражение, можно объединить общий множитель \(\sqrt{3}\):

\[
S_{\text{полная}} = a^2 \sqrt{3} \left(1 + \frac{1}{4}\right)
\]

Складывая дроби, мы получаем:

\[
S_{\text{полная}} = a^2 \sqrt{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{{5a^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильного тетраэдра равна \(\frac{{5a^2 \sqrt{3}}}{4}\).