1. По известным данным: оа=6, ов=4(см. рис.), найдите:
а) Каковы координаты точек а и в?
б) Какова длина медианы треугольника оав, проведенной из вершины о?
в) Какова длина средней линии треугольника оав, параллельной стороне оа?
2. По заданным точкам а(3; 4), в(6; 6), с(9; 4), d(6; 2), докажите, что авсd является параллелограммом.
а) Каковы координаты точек а и в?
б) Какова длина медианы треугольника оав, проведенной из вершины о?
в) Какова длина средней линии треугольника оав, параллельной стороне оа?
2. По заданным точкам а(3; 4), в(6; 6), с(9; 4), d(6; 2), докажите, что авсd является параллелограммом.
Evgeniya
Хорошо, начнём с первой задачи.
1. а) Для нахождения координат точек А и В нам известно, что OA = 6 и OV = 4.
Рассмотрим координату точки А. По определению, координата точки A - это расстояние от начала координат до точки A по оси абсцисс.
Из условия известно, что OA = 6, значит координата точки А равна 6. То есть, А(6; y), где y - неизвестное число.
Теперь рассмотрим координату точки В. По аналогии с предыдущим шагом, координата точки В - это расстояние от начала координат до точки В по оси ординат.
Из условия известно, что OV = 4, значит координата точки В равна 4. То есть, В(x; 4), где x - неизвестное число.
Таким образом, координаты точек А и В будут А(6; y) и В(x; 4), соответственно.
б) Чтобы найти длину медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, мы можем воспользоваться теоремой о медиане треугольника.
Согласно этой теореме, медиана треугольника делится на две равные части другими медианами. Таким образом, вершина О разделяет медиану ОАВ пополам.
Для нахождения длины медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, необходимо найти расстояние от точки О до середины стороны АВ.
Мы уже определили, что координаты точек А и В равны соответственно А(6; y) и В(x; 4).
Следовательно, середина стороны АВ будет иметь координаты (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)).
Теперь нам нужно найти расстояние между точками О и (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)). Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2} - 0)^2 + (\frac{y + 4}{2} - 0)^2}}\]
Упростим выражение:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2})^2 + (\frac{y + 4}{2})^2}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{(x + 6)^2}{4} + \frac{(y + 4)^2}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + 36}{4} + \frac{y^2 + 8y + 16}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x}{4} + \frac{y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
Таким образом, длина медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, равна \(\sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\).
в) Чтобы найти длину средней линии треугольника ОАВ, параллельной стороне ОА, мы можем воспользоваться свойством средней линии, которая делит отрезок, соединяющий две вершины треугольника, на две равные части.
Для нахождения длины средней линии, параллельной стороне ОА, нам нужно найти расстояние от точки О до середины стороны ВА (средней линии), которая параллельна стороне ОА.
Средняя линия будет иметь те же координаты, что и середина стороны ВА, так как она параллельна стороне ОА.
Ранее мы уже определили координаты точек А и В: А(6; y) и В(x; 4), соответственно.
Тогда середина стороны ВА будет иметь координаты (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)).
И, как уже упоминалось, эти координаты также являются координатами средней линии, параллельной стороне ОА.
Теперь нам нужно найти расстояние между точками О и (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)). Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2} - 0)^2 + (\frac{y + 4}{2} - 0)^2}}\]
Упростим выражение:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2})^2 + (\frac{y + 4}{2})^2}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{(x + 6)^2}{4} + \frac{(y + 4)^2}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + 36}{4} + \frac{y^2 + 8y + 16}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x}{4} + \frac{y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
Таким образом, длина средней линии треугольника ОАВ, параллельной стороне ОА, равна \(\sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\).
Перейдем ко второй задаче.
2. Для доказательства того, что АВСD является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.
Одно из таких свойств заключается в том, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Другими словами, точка пересечения диагоналей является их средней точкой.
В данной задаче точки A(3; 4), B(6; 6), C(9; 4) и D(6; 2) заданы.
Чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нам нужно:
1) Проверить, что диагонали AC и BD пересекаются в точке E.
2) Проверить, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD.
1) Для нахождения координат точки E, пересечения диагоналей AC и BD, нам нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых AC и BD.
Уравнение прямой AC можно составить, используя точки A и C: \((x - x_1)/(x_2 - x_1) = (y - y_1)/(y_2 - y_1)\).
Подставим значения координат точек A(3; 4) и C(9; 4) в уравнение прямой AC:
\((x - 3)/(9 - 3) = (y - 4)/(4 - 4)\).
Упростим уравнение:
\((x - 3)/6 = 0\) или \(x - 3 = 0\) или \(x = 3\).
Получили, что x-координата точки E равна 3. То есть, E(3; y), где y - неизвестное число.
Аналогично, уравнение прямой BD можно составить, используя точки B и D: \((x - x_1)/(x_2 - x_1) = (y - y_1)/(y_2 - y_1)\).
Подставим значения координат точек B(6; 6) и D(6; 2) в уравнение прямой BD:
\((x - 6)/(6 - 6) = (y - 6)/(2 - 6)\).
Упростим уравнение:
\((x - 6)/0 = (y - 6)/(-4)\), при делении на ноль уравнение имеет бесконечное множество решений.
Получили, что x-координата точки E может быть любым числом.
Таким образом, координаты точки E должны быть E(3; y), где y - любое число.
2) Чтобы доказать, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD, необходимо проверить, что сумма координат точек A и C равна сумме координат точек B и D.
Если x-координаты точек A и C суммируются и делятся надвое, и y-координаты точек A и C суммируются и делятся надвое, и то же самое выполняется для точек B и D, то E будет средней точкой.
Сумма x-координат точек A и C равна 3 + 9 = 12.
Сумма x-координат точек B и D равна 6 + 6 = 12.
Сумма y-координат точек A и C равна 4 + 4 = 8.
Сумма y-координат точек B и D равна 6 + 2 = 8.
Таким образом, сумма координат точек A и C равна сумме координат точек B и D, что означает, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD.
Итак, мы доказали, что точка E(3; y) является средней точкой для диагоналей AC и BD, что подтверждает, что ABCD является параллелограммом.
Вот как мы можем решить заданные задачи. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.
1. а) Для нахождения координат точек А и В нам известно, что OA = 6 и OV = 4.
Рассмотрим координату точки А. По определению, координата точки A - это расстояние от начала координат до точки A по оси абсцисс.
Из условия известно, что OA = 6, значит координата точки А равна 6. То есть, А(6; y), где y - неизвестное число.
Теперь рассмотрим координату точки В. По аналогии с предыдущим шагом, координата точки В - это расстояние от начала координат до точки В по оси ординат.
Из условия известно, что OV = 4, значит координата точки В равна 4. То есть, В(x; 4), где x - неизвестное число.
Таким образом, координаты точек А и В будут А(6; y) и В(x; 4), соответственно.
б) Чтобы найти длину медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, мы можем воспользоваться теоремой о медиане треугольника.
Согласно этой теореме, медиана треугольника делится на две равные части другими медианами. Таким образом, вершина О разделяет медиану ОАВ пополам.
Для нахождения длины медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, необходимо найти расстояние от точки О до середины стороны АВ.
Мы уже определили, что координаты точек А и В равны соответственно А(6; y) и В(x; 4).
Следовательно, середина стороны АВ будет иметь координаты (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)).
Теперь нам нужно найти расстояние между точками О и (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)). Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2} - 0)^2 + (\frac{y + 4}{2} - 0)^2}}\]
Упростим выражение:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2})^2 + (\frac{y + 4}{2})^2}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{(x + 6)^2}{4} + \frac{(y + 4)^2}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + 36}{4} + \frac{y^2 + 8y + 16}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x}{4} + \frac{y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
Таким образом, длина медианы треугольника ОАВ, проведенной из вершины О, равна \(\sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\).
в) Чтобы найти длину средней линии треугольника ОАВ, параллельной стороне ОА, мы можем воспользоваться свойством средней линии, которая делит отрезок, соединяющий две вершины треугольника, на две равные части.
Для нахождения длины средней линии, параллельной стороне ОА, нам нужно найти расстояние от точки О до середины стороны ВА (средней линии), которая параллельна стороне ОА.
Средняя линия будет иметь те же координаты, что и середина стороны ВА, так как она параллельна стороне ОА.
Ранее мы уже определили координаты точек А и В: А(6; y) и В(x; 4), соответственно.
Тогда середина стороны ВА будет иметь координаты (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)).
И, как уже упоминалось, эти координаты также являются координатами средней линии, параллельной стороне ОА.
Теперь нам нужно найти расстояние между точками О и (\(\frac{x + 6}{2}\); \(\frac{y + 4}{2}\)). Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Подставим значения в формулу:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2} - 0)^2 + (\frac{y + 4}{2} - 0)^2}}\]
Упростим выражение:
\[d = \sqrt{{(\frac{x + 6}{2})^2 + (\frac{y + 4}{2})^2}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{(x + 6)^2}{4} + \frac{(y + 4)^2}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + 36}{4} + \frac{y^2 + 8y + 16}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y + 52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x + y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{(\frac{x^2 + 12x}{4} + \frac{y^2 + 8y}{4}) + \frac{52}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
\[d = \sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\]
Таким образом, длина средней линии треугольника ОАВ, параллельной стороне ОА, равна \(\sqrt{{\frac{x^2}{4} + 3x + \frac{9y^2}{4} + 2y + \frac{13}{4}}}\).
Перейдем ко второй задаче.
2. Для доказательства того, что АВСD является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.
Одно из таких свойств заключается в том, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Другими словами, точка пересечения диагоналей является их средней точкой.
В данной задаче точки A(3; 4), B(6; 6), C(9; 4) и D(6; 2) заданы.
Чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нам нужно:
1) Проверить, что диагонали AC и BD пересекаются в точке E.
2) Проверить, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD.
1) Для нахождения координат точки E, пересечения диагоналей AC и BD, нам нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых AC и BD.
Уравнение прямой AC можно составить, используя точки A и C: \((x - x_1)/(x_2 - x_1) = (y - y_1)/(y_2 - y_1)\).
Подставим значения координат точек A(3; 4) и C(9; 4) в уравнение прямой AC:
\((x - 3)/(9 - 3) = (y - 4)/(4 - 4)\).
Упростим уравнение:
\((x - 3)/6 = 0\) или \(x - 3 = 0\) или \(x = 3\).
Получили, что x-координата точки E равна 3. То есть, E(3; y), где y - неизвестное число.
Аналогично, уравнение прямой BD можно составить, используя точки B и D: \((x - x_1)/(x_2 - x_1) = (y - y_1)/(y_2 - y_1)\).
Подставим значения координат точек B(6; 6) и D(6; 2) в уравнение прямой BD:
\((x - 6)/(6 - 6) = (y - 6)/(2 - 6)\).
Упростим уравнение:
\((x - 6)/0 = (y - 6)/(-4)\), при делении на ноль уравнение имеет бесконечное множество решений.
Получили, что x-координата точки E может быть любым числом.
Таким образом, координаты точки E должны быть E(3; y), где y - любое число.
2) Чтобы доказать, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD, необходимо проверить, что сумма координат точек A и C равна сумме координат точек B и D.
Если x-координаты точек A и C суммируются и делятся надвое, и y-координаты точек A и C суммируются и делятся надвое, и то же самое выполняется для точек B и D, то E будет средней точкой.
Сумма x-координат точек A и C равна 3 + 9 = 12.
Сумма x-координат точек B и D равна 6 + 6 = 12.
Сумма y-координат точек A и C равна 4 + 4 = 8.
Сумма y-координат точек B и D равна 6 + 2 = 8.
Таким образом, сумма координат точек A и C равна сумме координат точек B и D, что означает, что точка E является средней точкой для диагоналей AC и BD.
Итак, мы доказали, что точка E(3; y) является средней точкой для диагоналей AC и BD, что подтверждает, что ABCD является параллелограммом.
Вот как мы можем решить заданные задачи. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
