Какова площадь полной поверхности пирамиды SABC с высотой SA равной 9, основанием ВС равнобедренного треугольника

Для решения этой задачи, нам понадобится формула для вычисления площади полной поверхности пирамиды. Формула следующая:

\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

где \(S\) - площадь полной поверхности пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды. У нас дан равнобедренный треугольник ВСА, в котором основание ВС равно 10. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{осн}} = \frac{b \cdot h}{2}\]

где \(b\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника. В данной задаче \(b = 10\), \(h\) равна 9 (так как высота пирамиды равна 9). Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\]

Таким образом, площадь основания пирамиды равна 45.

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды представляет собой четыре треугольника: САВ, СВА, СВС, АСВ.

* Треугольники САВ и СВА равнобедренные, так как сторона АС равна стороне СВ (по условию задачи) и сторона СА равна стороне СВ (по свойству равнобедренности равнобедренного треугольника).
* Треугольник СВС - прямоугольный треугольник (у него один из углов прямой), так как сторона СВ является гипотенузой.

Найдем площади каждого из треугольников и затем сложим их.

a) Площадь треугольника САВ:
Длина стороны СА равна 9 (высота пирамиды). Опустим перпендикуляр из вершины А на сторону СВ. Этот перпендикуляр будет высотой равнобедренного треугольника САВ. Пусть этот перпендикуляр имеет длину h1. Так как САВ - равнобедренный треугольник, сторона СВ будет равна h1. Опять же, используем формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{САВ}} = \frac{b \cdot h}{2}\]

где \(b\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника. В данной задаче \(b = h1 = 9\), \(h\) равна 10 (так как основание равнобедренного треугольника равно 10). Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{САВ}} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45\]

б) Площадь треугольника СВА:
Площадь этого треугольника также равна \(S_{\text{САВ}}\), так как треугольник СВА равнобедренный и имеет те же стороны и высоту.

\[S_{\text{СВА}} = S_{\text{САВ}} = 45\]

в) Площадь треугольника СВС:
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[S_{\text{СВС}} = \frac{a \cdot b}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника. В данной задаче, \(a = b = 9\) (так как сторона СВ равна 9). Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{СВС}} = \frac{9 \cdot 9}{2} = 40.5\]

г) Площадь треугольника АСВ:
Так как треугольник АСВ равнобедренный и имеет сторону и высоту равные 9, его площадь также равна \(S_{\text{СВС}}\).

\[S_{\text{АСВ}} = S_{\text{СВС}} = 40.5\]

Теперь, чтобы найти площадь всей боковой поверхности пирамиды, сложим площади всех четырех треугольников:

\[S_{\text{бок}} = S_{\text{САВ}} + S_{\text{СВА}} + S_{\text{СВС}} + S_{\text{АСВ}} = 45 + 45 + 40.5 + 40.5 = 171\]

3. Теперь, когда у нас есть площадь основания \(S_{\text{осн}} = 45\) и площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = 171\), мы можем использовать формулу для вычисления площади полной поверхности пирамиды:

\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 45 + 171 = 216\]

Итак, площадь полной поверхности пирамиды SABC, заданной в условии, равна 216.