Какова площадь полной поверхности конуса с осевым сечением в виде треугольника, имеющего сторону длиной 8

Конус - это геометрическое тело, у которого основание является кругом, а боковая поверхность образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Для нахождения площади полной поверхности конуса сначала нужно найти площадь основания и затем добавить к ней площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания конуса.
У нас дано, что осевое сечение имеет форму треугольника, у которого длина одной из сторон равна 8 см, а прилежащий угол равен 120°. Для нахождения площади треугольника можем воспользоваться формулой, которая основывается на длине сторон и угле между ними.

Мы знаем длину одной стороны треугольника - 8 см и угол между сторонами - 120°. Найдем площадь треугольника по формуле:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]

где \( a \) и \( b \) - длины сторон треугольника, \( \alpha \) - угол между этими сторонами.

Подставляем значения в формулу и находим площадь треугольника:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см} \cdot \sin(120^\circ) \]

\[ S_{\text{тр}} = 32 \, \text{см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ S_{\text{тр}} = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь основания конуса равна \( 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

2. Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса.
Боковая поверхность конуса представляет собой развернутый треугольник, который можно получить, развернув осевое сечение в виде треугольника. Периметр этого треугольника будет равен длине окружности основания конуса.

Длина окружности основания конуса равна \( 2 \pi r \), где \( r \) - радиус основания конуса. Радиус можно найти, воспользовавшись формулой, связывающей радиус и длину стороны треугольника.

Так как наше осевое сечение - равносторонний треугольник, то все его стороны равны. Значит, радиус основания конуса равен половине длины стороны треугольника.

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{8 \, \text{см}}{2} = 4 \, \text{см} \]

Теперь находим площадь боковой поверхности конуса:

\[ S_{\text{бп}} = \pi r l \]

где \( l \) - образующая конуса. Образующую конуса можно найти, воспользовавшись теоремой Пифагора:

\[ \left(l\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(h\right)^2 \]

У нас нет информации о высоте конуса, но можно заметить, что высота будет равна стороне треугольника, так как треугольник является равносторонним и высота проходит через его вершину.

\[ h = a = 8 \, \text{см} \]

\[ \left(l\right)^2 = \left(\frac{8 \, \text{см}}{2}\right)^2 + \left(8 \, \text{см}\right)^2 \]

\[ \left(l\right)^2 = 4 \, \text{см}^2 + 64 \, \text{см}^2 \]

\[ \left(l\right)^2 = 68 \, \text{см}^2 \]

\[ l = \sqrt{68} \, \text{см} \]

Теперь можем продолжить вычисления площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{бп}} = \pi \cdot 4 \, \text{см} \cdot \sqrt{68} \, \text{см} \]

\[ S_{\text{бп}} \approx 85.8 \, \text{см}^2 \]

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности конуса.
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бп}} \]

Подставляем значения:

\[ S_{\text{полн}} = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 + 85.8 \, \text{см}^2 \]

\[ S_{\text{полн}} \approx 16 \sqrt{3} + 85.8 \, \text{см}^2 \]

\[ S_{\text{полн}} \approx 16 \sqrt{3} + 85.8 \, \text{см}^2 \]

\[ S_{\text{полн}} \approx 101.8 \, \text{см}^2 + 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

\[ S_{\text{полн}} \approx 101.8 \, \text{см}^2 + 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

\[ S_{\text{полн}} \approx 101.8 + 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса с осевым сечением в виде треугольника, имеющего сторону длиной 8 см и прилежащий угол 120°, примерно равна \( 101.8 + 16 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.