Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда з основою у формі ромба та основою у формі прямокутника, більша діагональ

Задача: Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда с основой в форме ромба и основой в форме прямоугольника, большая диагональ которой наклонена к плоскости основы под углом 30 градусов, при условии, что ромб имеет острый угол 60 градусов и сторону длиной \(a\).

Решение:

Пусть длины сторон ромба равны \(a\) и \(b\), а стороны прямоугольника равны \(a\) и \(c\).

Для начала, найдем длину большей диагонали ромба. Известно, что ромб имеет острый угол 60 градусов. Используя теорему косинусов, получим следующее:

\[b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)\]
\[b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[b^2 = 2a^2 - a^2\]
\[b^2 = a^2\]
\[b = a\]

Таким образом, длина большей диагонали ромба также равна \(a\).

Теперь найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Боковая поверхность будет состоять из двух прямоугольников и двух ромбов.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[S_{прямоугольник} = a \cdot c\]

Площадь ромба можно найти, используя следующую формулу:

\[S_{ромб} = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. В нашем случае, длина диагоналей равна \(a\), поэтому:

\[S_{ромб} = \frac{{a \cdot a}}{2} = \frac{{a^2}}{2}\]

Теперь сложим площади всех поверхностей:

\[S_{боковая\;поверхность} = 2 \cdot S_{прямоугольник} + 2 \cdot S_{ромб} = 2 \cdot (a \cdot c) + 2 \cdot \left(\frac{{a^2}}{2}\right)\]

\[S_{боковая\;поверхность} = 2ac + a^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда с заданными характеристиками равна \(2ac + a^2\).