Какова площадь полной поверхности фигуры, полученной путем вращения прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг

Чтобы найти площадь полной поверхности фигуры, полученной путем вращения прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины его более длинных сторон, мы можем разбить эту фигуру на несколько частей и найти площадь каждой части.

Давайте разберем этот процесс по шагам.

Шаг 1: Вращение прямоугольника создает два цилиндра. Один цилиндр находится внутри другого. Внутренний цилиндр образует полую фигуру, в то время как внешний цилиндр образует кольцо.

Шаг 2: Площадь внутренней полой фигуры можно найти как разность площадей двух окружностей. Для этого мы можем вычесть площадь внешней окружности из площади внутренней окружности.

Площадь окружности можно найти по формуле:

\[Площадь = \pi \times (радиус)^2\]

Шаг 3: Радиус внутренней окружности составляет половину длины меньшей стороны прямоугольника, т.е. половину длины 4 см, то есть 2 см.

Радиус внешней окружности составляет половину длины бОльшей стороны прямоугольника, т.е. половину длины 6 см, то есть 3 см.

Шаг 4: Теперь мы можем найти площадь внутренней полой фигуры по формуле:

\[Площадь_{полая фигура} = \pi \times (3^2) - \pi \times (2^2)\]
\[Площадь_{полая фигура} = \pi \times 9 - \pi \times 4\]
\[Площадь_{полая фигура} = \pi \times (9 - 4)\]
\[Площадь_{полая фигура} = \pi \times 5\]

Шаг 5: Площадь кольца, образованного внешним цилиндром, можно найти, вычислив разность площадей двух окружностей - окружности с радиусом 3 см и окружности с радиусом 2 см.

Площадь кольца вычисляется по формуле:

\[Площадь_{кольца} = \pi \times (радиус_{внешней\ окружности}^2) - \pi \times (радиус_{внутренней\ окружности}^2)\]
\[Площадь_{кольца} = \pi \times (3^2) - \pi \times (2^2)\]
\[Площадь_{кольца} = \pi \times 9 - \pi \times 4\]
\[Площадь_{кольца} = \pi \times (9 - 4)\]
\[Площадь_{кольца} = \pi \times 5\]

Шаг 6: Теперь мы можем найти площадь полной поверхности фигуры, складывая площадь полой фигуры и площадь кольца.

\[Площадь_{полная фигура} = Площадь_{полая фигура} + Площадь_{кольца}\]
\[Площадь_{полная фигура} = \pi \times 5 + \pi \times 5\]
\[Площадь_{полная фигура} = 10 \pi\]

Итак, площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, проходящей через середины его более длинных сторон, составляет \(10 \pi\) квадратных сантиметров.