1) Какова длина хорды окружности, проходящей через середину одного из ее радиусов и образующей угол α с этим радиусом?

Задача 1:

Длина хорды окружности, проходящей через середину одного из ее радиусов и образующей угол $\alpha$ с этим радиусом, равна удвоенному произведению радиуса на синус половины угла $\alpha$.

Обоснование:
Рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом r.

Пусть M - середина одного из ее радиусов, а AB - хорда, проходящая через точку M и образующая угол $\alpha$ с радиусом OM.

Треугольник OMA является прямоугольным, так как радиус OM перпендикулярен хорде AB.

Пусть $\theta$ - половина угла $\alpha$. Тогда в треугольнике OMA справедливо равенство:

$\sin \theta =\frac{AM}{OM}$

Так как точка M - середина радиуса, то AM равно $\frac{1}{2}$ длины радиуса, а OM равно r.

Тогда получаем:

$\sin \theta =\frac{\frac{1}{2}r}{r}=\frac{1}{2}$

Теперь найдем длину хорды AB:

AB = 2 * AM = 2 * $\frac{1}{2}$ * r = r

Таким образом, длина хорды, проходящей через середину радиуса и образующей угол $\alpha$ с ним, равна радиусу окружности.

Ответ: Длина хорды AB равна r.

Задача 2:

Радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и данной прямой, можно найти по следующей формуле:

$r_2=\frac{r}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}$

Обоснование:
Рассмотрим две касательных к окружности с центром в точке O, радиусом r и углом $\alpha$ между ними:

AB - прямая, касающаяся окружности в точке B.

AC - прямая, образующая угол $\alpha$ с прямой AB.

Пусть R - радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и прямой AC.

Треугольник ABC прямоугольный, так как прямая AB касается окружности.

Пусть $\theta$ - половина угла $\alpha$. Тогда в треугольнике ABC справедливо равенство:

$\cos \theta =\frac{BC}{AB}$

Так как BC равно R - r (разность радиусов), а AB равно r, то получаем:

$\cos \theta =\frac{R-r}{r}$

Из этого равенства находим R:

R - r = r * $\cos \theta$

R = r * $\cos \theta$ + r

Используем тригонометрическое тождество, связывающее квадрат косинуса суммы углов:

${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$

Подставляем это тождество в формулу для R:

R = r * (1 + $\cos 2\theta$) / 2 + r

Так как $\alpha$ - это угол между касательными, то $\alpha$ = 2$\theta$.

Тогда формула для R принимает вид:

R = r * (1 + $\cos \alpha$) / 2 + r

Упростим выражение для R, заметив, что $\cos \alpha$ = 2${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ - 1:

R = r * (1 + 2${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ - 1) / 2 + r

R = r * ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}$ + r

Таким образом, радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и данной прямой, равен $r\ast {\cos }^2\frac{\alpha }{2}+r$.

Ответ: Радиус второй окружности равен $r\ast {\cos }^2\frac{\alpha }{2}+r$.

Задача 3:

Длина диагонали трапеции, образующей углы 60° и 150° с боковыми сторонами, можно найти по следующей формуле:

$d=\sqrt{a^2+b^2-ab\sqrt{3}}$

Обоснование:
Рассмотрим трапецию ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны a и b соответственно, а углы ABC и CDA равны 60° и 150°.

Пусть AC - диагональ трапеции. Тогда треугольник ACD - прямоугольный, так как его угол CDA равен 90°.

Треугольник ACD является треугольником 30°-60°-90°, так как его угол DCA равен 60°.

Известно, что в треугольнике 30°-60°-90° соотношение между сторонами равно:

$AC=2\ast AD=2\ast \frac{AB}{\sqrt{3}}$

Так как AB равно a, то получаем:

$AC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

С учетом этого соотношения, длину диагонали AC можно найти по формуле:

$d=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}$

Подставляем значения AC и CD:

$d=\sqrt{{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2+b^2}$

$d=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+b^2}$

Упрощаем выражение:

$d=\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{3}}$

Таким образом, длина диагонали трапеции равна $\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{3}}$.

Ответ: Длина диагонали равна $\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{3}}$.