1) Какова длина хорды окружности, проходящей через середину одного из ее радиусов и образующей угол α с этим радиусом?

Задача 1:

Длина хорды окружности, проходящей через середину одного из ее радиусов и образующей угол \(\alpha\) с этим радиусом, равна удвоенному произведению радиуса на синус половины угла \(\alpha\).

Обоснование:
Рассмотрим окружность с центром в точке O и радиусом r.

Пусть M - середина одного из ее радиусов, а AB - хорда, проходящая через точку M и образующая угол \(\alpha\) с радиусом OM.

Треугольник OMA является прямоугольным, так как радиус OM перпендикулярен хорде AB.

Пусть \(\theta\) - половина угла \(\alpha\). Тогда в треугольнике OMA справедливо равенство:

\(\sin{\theta} = \frac{AM}{OM}\)

Так как точка M - середина радиуса, то AM равно \(\frac{1}{2}\) длины радиуса, а OM равно r.

Тогда получаем:

\(\sin{\theta} = \frac{\frac{1}{2}r}{r} = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем длину хорды AB:

AB = 2 * AM = 2 * \(\frac{1}{2}\) * r = r

Таким образом, длина хорды, проходящей через середину радиуса и образующей угол \(\alpha\) с ним, равна радиусу окружности.

Ответ: Длина хорды AB равна r.

Задача 2:

Радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и данной прямой, можно найти по следующей формуле:

\(r_2 = \frac{r}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)

Обоснование:
Рассмотрим две касательных к окружности с центром в точке O, радиусом r и углом \(\alpha\) между ними:

AB - прямая, касающаяся окружности в точке B.

AC - прямая, образующая угол \(\alpha\) с прямой AB.

Пусть R - радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и прямой AC.

Треугольник ABC прямоугольный, так как прямая AB касается окружности.

Пусть \(\theta\) - половина угла \(\alpha\). Тогда в треугольнике ABC справедливо равенство:

\(\cos{\theta} = \frac{BC}{AB}\)

Так как BC равно R - r (разность радиусов), а AB равно r, то получаем:

\(\cos{\theta} = \frac{R - r}{r}\)

Из этого равенства находим R:

R - r = r * \(\cos{\theta}\)

R = r * \(\cos{\theta}\) + r

Используем тригонометрическое тождество, связывающее квадрат косинуса суммы углов:

\(\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}\)

Подставляем это тождество в формулу для R:

R = r * (1 + \(\cos{2\theta}\)) / 2 + r

Так как \(\alpha\) - это угол между касательными, то \(\alpha\) = 2\(\theta\).

Тогда формула для R принимает вид:

R = r * (1 + \(\cos{\alpha}\)) / 2 + r

Упростим выражение для R, заметив, что \(\cos{\alpha}\) = 2\(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\) - 1:

R = r * (1 + 2\(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\) - 1) / 2 + r

R = r * \(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\) + r

Таким образом, радиус второй окружности, которая касается первой окружности в точке B и данной прямой, равен \(r * \cos^2{\frac{\alpha}{2}} + r\).

Ответ: Радиус второй окружности равен \(r * \cos^2{\frac{\alpha}{2}} + r\).

Задача 3:

Длина диагонали трапеции, образующей углы 60° и 150° с боковыми сторонами, можно найти по следующей формуле:

\(d = \sqrt{a^2 + b^2 - ab\sqrt{3}}\)

Обоснование:
Рассмотрим трапецию ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны a и b соответственно, а углы ABC и CDA равны 60° и 150°.

Пусть AC - диагональ трапеции. Тогда треугольник ACD - прямоугольный, так как его угол CDA равен 90°.

Треугольник ACD является треугольником 30°-60°-90°, так как его угол DCA равен 60°.

Известно, что в треугольнике 30°-60°-90° соотношение между сторонами равно:

\(AC = 2 * AD = 2 * \frac{AB}{\sqrt{3}}\)

Так как AB равно a, то получаем:

\(AC = \frac{2a}{\sqrt{3}}\)

С учетом этого соотношения, длину диагонали AC можно найти по формуле:

\(d = \sqrt{AC^2 + CD^2}\)

Подставляем значения AC и CD:

\(d = \sqrt{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2 + b^2}\)

\(d = \sqrt{\frac{4a^2}{3} + b^2}\)

Упрощаем выражение:

\(d = \sqrt{\frac{4a^2 + 3b^2}{3}}\)

Таким образом, длина диагонали трапеции равна \(\sqrt{\frac{4a^2 + 3b^2}{3}}\).

Ответ: Длина диагонали равна \(\sqrt{\frac{4a^2 + 3b^2}{3}}\).