Какова площадь полной поверхности цилиндра, описанного вокруг прямой призмы, основание которой - прямоугольный

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать некоторые свойства геометрических фигур.

1. Сначала найдем площадь основания прямой призмы, которое является прямоугольным треугольником. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2\]

Где \(\text{катет}_1\) и \(\text{катет}_2\) - длины катетов треугольника. В данном случае \(\text{катет}_1 = 7\) см, а \(\text{катет}_2 = 19\) см.

Подставляя значения, найдем:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times 7 \times 19 = 66.5 \, \text{см}^2\]

2. Далее необходимо найти высоту цилиндра, который описывает вокруг прямой призмы. Высоту можно найти с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.

Высота - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты - это диагональ меньшей грани призмы и радиус этого описанного цилиндра. Пусть \(r\) - радиус цилиндра, а \(d\) - диагональ меньшей грани призмы (катеты прямоугольного треугольника).

Теорема Пифагора:
\[h^2 = d^2 - r^2\]

У нас дано, что \(d\) - диагональ меньшей грани призмы, образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Из этого следует:
\[d = \sqrt{7^2 + 19^2} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}\]

Подставляем в формулу для высоты цилиндра:
\[h^2 = (7\sqrt{10})^2 - r^2 = 490 - r^2\]
\[h = \sqrt{490 - r^2}\]

3. Наконец, можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь двух оснований может быть найдена как произведение площади основания прямой призмы и 2:
\[S_{\text{осн}} = 2 \times S_{\text{тр}} = 2 \times 66.5 = 133 \, \text{см}^2\]

Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:
\[S_{\text{бок}} = 2\pi r \times h\]

Подставляем значения:
\[S_{\text{бок}} = 2\pi r \times \sqrt{490 - r^2}\]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра будет равна:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 133 + 2\pi r \times \sqrt{490 - r^2}\]

Где \(S_{\text{полн}}\) - искомая площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ дан. Теперь можно проверить результат и использовать полученные значения для дальнейших вычислений или анализа.