Какова площадь основания конуса с осевым сечением, равным 6√3, и углом наклона образующей к плоскости основания, равным

Давайте разберем эту задачу по шагам.

Шаг 1: Разбиение задачи
В данной задаче мы должны найти площадь основания конуса. Чтобы это сделать, мы должны вычислить площадь осевого сечения и угол наклона образующей к плоскости основания.

Шаг 2: Площадь осевого сечения
Осевое сечение конуса - это сечение, которое перпендикулярно к высоте конуса. Зная, что длина осевого сечения составляет 6√3, мы можем использовать формулу для площади осевого сечения конуса:

\[S_{\text{ос}} = \frac{{\pi \cdot d^2}}{4}\]

Где \(S_{\text{ос}}\) - площадь осевого сечения, а \(d\) - диаметр сечения (6√3).

Вычислим площадь осевого сечения:

\[S_{\text{ос}} = \frac{{\pi \cdot (6\sqrt{3})^2}}{4}\]

\[S_{\text{ос}} = \frac{{\pi \cdot 108}}{4}\]
\[S_{\text{ос}} = 27\pi\]

Таким образом, площадь осевого сечения равна \(27\pi\).

Шаг 3: Угол наклона образующей
Дано, что угол наклона образующей к плоскости основания составляет 60 градусов.

Шаг 4: Площадь основания
Теперь мы можем использовать полученные данные для вычисления площади основания конуса. Площадь основания можно найти, используя соотношение:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{S_{\text{ос}}}}{{\sin^2(\alpha)}}\]

Где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(\alpha\) - угол наклона образующей к плоскости основания (в радианах).

Переведем угол из градусов в радианы:

\(\alpha = \frac{{60 \cdot \pi}}{{180}} = \frac{{\pi}}{{3}}\)

Вычислим площадь основания:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{27\pi}}{{\sin^2(\frac{{\pi}}{{3}})}}\]

Подставляя значение синуса \(sin(\frac{{\pi}}{{3}}) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), получаем:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{27\pi}}{{(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}})^2}}\]
\[S_{\text{осн}} = \frac{{27\pi}}{{\frac{{3}}{{4}}}}\]
\[S_{\text{осн}} = 36\pi\]

Таким образом, площадь основания конуса равна \(36\pi\).

Шаг 5: Ответ
Следовательно, площадь основания конуса с осевым сечением, равным \(6√3\), и углом наклона образующей к плоскости основания, равным 60 градусов, равна \(36\pi\).