There are 10 individuals offering their services to the contractor, but he only needs to hire 4 carpenters. How many

Это задача на комбинаторику, а именно на нахождение количества сочетаний. У нас есть 10 человек, из которых нам нужно выбрать 4 для найма. Количество способов выбрать 4 человека из 10 можно вычислить с помощью формулы сочетаний, которая записывается следующим образом:
\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где n - количество объектов для выбора, k - количество объектов, которые мы должны выбрать, а символ "!" обозначает факториал числа.

Для нашей задачи мы имеем:
n = 10 (количество доступных кандидатов)
k = 4 (количество нужных нанимаемых работников)

Подставив эти значения в формулу сочетаний, мы получим:
\[C(10,4) = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}}\]

Вычислим значение:
\[C(10,4) = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}}\]

Факториалы чисел 10 и 4 могут быть вычислены следующим образом:
\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]
\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения факториалов обратно в формулу:
\[C(10,4) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]

Выполним вычисления:
\[C(10,4) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Путём сокращения и простого вычисления, мы получим:
\[C(10,4) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Значение числителя и знаменателя можно упростить:
\[10 \cdot 9 = 90\]
\[8 \cdot 7 = 56\]
\[4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]

Теперь заменим эти значения в формулу:
\[C(10,4) = \frac{{90 \cdot 56}}{{24}}\]

И после окончательных вычислений получаем:
\[C(10,4) = 210\]

Таким образом, контрактор может выбрать из 10 работников комбинацию из 4 человек 210 различными способами.