Какова площадь осевого сечения усеченного конуса с высотой 15 см и образующей 17, если радиусы его оснований относятся

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Первым шагом нам необходимо найти радиусы оснований усеченного конуса. По условию задачи известно, что отношение радиусов оснований равно 9:5. Пусть радиус большего основания будет равен \(R_1\), а радиус меньшего основания будет равен \(R_2\).

Так как отношение радиусов равно 9:5, мы можем записать соотношение:

\[\frac{R_1}{R_2} = \frac{9}{5}\]

Далее мы можем найти значение одного из радиусов, зная значение другого радиуса. Для этого воспользуемся известным значением высоты. Так как у нас есть отношение радиусов и высота усеченного конуса, мы можем применить подобие треугольников.

Из подобия треугольников можно сделать вывод, что отношение высоты к радиусу основания одного конуса равно отношению высоты к радиусу другого конуса. Обозначим высоту конуса как \(h\).

\[\frac{h}{R_1} = \frac{h}{R_2}\]

Мы знаем, что высота конуса равна 15 см, поэтому мы можем записать:

\[\frac{15}{R_1} = \frac{15}{R_2}\]

Теперь, когда у нас есть две уравнения с двумя неизвестными (\(R_1\) и \(R_2\)), мы можем решить систему уравнений. Для этого мы можем использовать метод подстановки или метод пропорций.

Давайте воспользуемся методом пропорций, выразив одну из переменных через другую:

\[\frac{R_1}{R_2} = \frac{9}{5} \Rightarrow R_1 = \frac{9}{5}R_2\]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[\frac{15}{\frac{9}{5}R_2} = \frac{15}{R_2}\]

Теперь мы можем упростить выражение, помножив обе стороны уравнения на \(R_2\):

\[\frac{15R_2}{\frac{9}{5}} = 15\]

Раскроем деление на дробь:

\[\frac{15R_2 \cdot 5}{9} = 15\]

Упростим выражение, умножив числитель на 5:

\[\frac{75R_2}{9} = 15\]

Избавимся от дроби, умножив обе стороны уравнения на 9:

\[75R_2 = 135\]

Далее разделим обе стороны уравнения на 75:

\[R_2 = \frac{135}{75} = \frac{9}{5}\]

Теперь мы знаем значение меньшего радиуса \(R_2\). Чтобы найти больший радиус \(R_1\), мы можем использовать выражение \(R_1 = \frac{9}{5}R_2\):

\[R_1 = \frac{9}{5} \cdot \frac{9}{5} = \frac{81}{25}\]

Теперь, когда у нас есть значения радиусов оснований \(R_1\) и \(R_2\), мы можем найти площадь каждого основания конуса. Площадь основания конуса вычисляется по формуле:

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot R^2\]

Подставим значения радиусов и вычислим площади оснований:

\[S_1 = \pi \cdot \left(\frac{81}{25}\right)^2\]
\[S_2 = \pi \cdot \left(\frac{9}{5}\right)^2\]

Теперь, когда у нас есть значения площадей оснований \(S_1\) и \(S_2\), мы можем найти площадь осевого сечения усеченного конуса. Площадь осевого сечения вычисляется по формуле:

\[S_{\text{сеч}} = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}\]

Подставим значения площадей и вычислим площадь осевого сечения:

\[S_{\text{сеч}} = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{81}{25}\right)^2 + \pi \cdot \left(\frac{9}{5}\right)^2 + \sqrt{\pi \cdot \left(\frac{81}{25}\right)^2 \cdot \pi \cdot \left(\frac{9}{5}\right)^2}\]

Подсчитывать этот выражение неудобно, но можно упростить его:

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{81^2}{25^2} + \frac{9^2}{5^2} + \sqrt{\frac{81^2}{25^2} \cdot \frac{9^2}{5^2}}\right)\]

Теперь, для удобства расчета, можно вычислить числитель и знаменатель первых двух слагаемых:

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{6561}{625} + \frac{81}{25} + \sqrt{\frac{6561}{625} \cdot \frac{81}{25}}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{6561 + 405}{625} + \sqrt{\frac{531441}{625}}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{6966}{625} + \sqrt{\frac{531441}{625}}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{6966}{625} + \frac{729}{25}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{6966 + 2916}{625}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} = \pi \cdot \left(\frac{9882}{625}\right)\]

\[S_{\text{сеч}} \approx \frac{3136\pi}{199}\]

Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса составляет примерно \(\frac{3136\pi}{199}\) квадратных сантиметров.