Какова площадь области, заключенной внутри графиков следующих функций: y = x^2 - 2x + 2; x = 1; x = 2; y

Чтобы вычислить площадь области, заключенной внутри графиков функций, нужно найти интеграл функции y в пределах от x = 1 до x = 2 и вычесть площадь фигуры, ограниченной графиками функций и осями координат.

Первым шагом находим точки пересечения функции y = x^2 - 2x + 2 и вертикальных линий x = 1 и x = 2. Чтобы найти эти точки, приравняем функцию y к x и решим получившееся уравнение:

x^2 - 2x + 2 = x

Перепишем уравнение в квадратном виде:

x^2 - 3x + 2 = 0

Это квадратное уравнение может быть решено факторизацией или с использованием квадратного корня. Решим его с помощью факторизации:

(x - 1)(x - 2) = 0

Отсюда видно, что x = 1 или x = 2. Получили две точки пересечения графика функции y с вертикальными линиями.

Теперь, чтобы найти площадь области, заключенной внутри графиков функций, мы будем находить определенный интеграл от функции y в пределах от x = 1 до x = 2.

Интеграл функции y = x^2 - 2x + 2 можно вычислить следующим образом:

\[\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx\]

Для выполнения этого интеграла необходимо произвести интегрирование по каждому слагаемому внутри скобок. Интеграл от x^2 будет равняться \(\frac{x^3}{3}\), интеграл от -2x будет равняться \(-x^2\), и интеграл от 2 будет равняться \(2x\). Тогда интеграл функции y будет выглядеть следующим образом:

\[\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{1}^{2}\]

Теперь вычислим данный интеграл, подставляя значения верхнего предела (x = 2) и нижнего предела (x = 1):

\[\left[ \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 \right] - \left[ \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right]\]

\[\left[ \frac{8}{3} - 4 + 4 \right] - \left[ \frac{1}{3} - 1 + 2 \right]\]

\[\left[ \frac{8}{3} \right] - \left[ \frac{1}{3} \right]\]

\[\frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\]

Поэтому площадь области, заключенной внутри графиков функций, равна \(\frac{7}{3}\).