Какова площадь области, заключенной между графиками функций y=x^2+1 и y=0, а также вертикальными линиями x=-1 и x=2?

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций \(y=x^2+1\) и \(y=0\) и вертикальными линиями \(x=-1\) и \(x=2\), мы должны рассмотреть область, ограниченную кривыми и вертикальными линиями, и вычислить площадь этой области. Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций

Для начала необходимо найти точки пересечения функций \(y=x^2+1\) и \(y=0\). Чтобы найти эти точки, приравняем обе функции друг к другу и решим уравнение. Получим:

\[x^2+1=0\]

Решим это уравнение. Вычитая 1 из обеих сторон, получим:

\[x^2=-1\]

Уравнение \(x^2=-1\) не имеет решений в области действительных чисел. Это означает, что функция \(y=x^2+1\) не пересекает ось X, и встречается с осью X ниже ее. Поскольку нам интересуют только точки пересечения, не нужно дальше искать решение.

Шаг 2: Построим графики функций и вертикальные линии на координатной плоскости.

На рисунке ниже показаны графики функций \(y=x^2+1\) и \(y=0\) и вертикальные линии \(x=-1\) и \(x=2\). Область, ограниченная этими кривыми и линиями, помечена красным цветом.

\[ \begin{align*}
\begin{array}{cccc}
\hline
x & y=x^2+1 & y=0 \\
\hline
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
2 & 5 & 0 \\
\hline
\end{array}
\end{align*} \]

Шаг 3: Найдем площадь области, ограниченной графиками и вертикальными линиями.

Найдем площадь области, ограниченной графиками \(y=x^2+1\), \(y=0\) и вертикальными линиями \(x=-1\) и \(x=2\). Эта область представляет собой треугольник и прямоугольник, поэтому мы можем разделить ее на две части и вычислить их площади по отдельности.

Часть 1: Треугольник

Вертикальная линия \(x=-1\) и график функции \(y=x^2+1\) образуют треугольник. Чтобы найти его площадь, мы должны найти высоту и основание этого треугольника.

Основание треугольника равно разнице между абсциссами точек пересечения графиков функций \(y=x^2+1\) и \(y=0\) в данном случае это \(x=2\) и \(x=-1\):

\[база = 2 - (-1) = 3\]

Чтобы найти высоту треугольника, нужно вычислить разницу между ординатами этих точек, то есть:

\[высота = (x^2+1) - 0 = x^2+1\]

Теперь, используя формулу для площади треугольника \(Площадь= \frac{1}{2} \cdot \text{база} \cdot \text{высота}\), подставим полученные значения:

\[Площадь\ треугольника = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (x^2+1)\]

Часть 2: Прямоугольник

График функции \(y=0\) и вертикальные линии \(x=-1\) и \(x=2\) образуют прямоугольник. Чтобы найти его площадь, нужно вычислить длину и ширину прямоугольника.

Длина прямоугольника равна разнице между абсциссами вертикальных линий \(x=2\) и \(x=-1\):

\[длина=2-(-1)=3\]

Ширина прямоугольника определяется осью ординат и равна значению функции \(y=0\):

\[ширина=(y=0)=0\]

Теперь, используя формулу для площади прямоугольника \(Площадь=длина\cdot ширина\), подставим полученные значения:

\[Площадь\ прямоугольника=3\cdot 0=0\]

Шаг 4: Найдем общую площадь

Общая площадь области, ограниченной графиками \(y=x^2+1\), \(y=0\) и вертикальными линиями \(x=-1\) и \(x=2\) равна сумме площадей треугольника и прямоугольника:

\[Площадь\ области=Площадь\ треугольника+Площадь\ прямоугольника=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot (x^2+1)+0= \frac{3}{2}\cdot (x^2+1)\]

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками функций \(y=x^2+1\) и \(y=0\) и вертикальными линиями \(x=-1\) и \(x=2\), равна \(\frac{3}{2}\cdot (x^2+1)\).