Какова площадь области, ограниченной кривыми y=4x-x^2?
Магический_Единорог
Для нахождения площади области, ограниченной кривыми \(y=4x-x^2\), нам потребуется использовать интегрирование. Давайте разберемся по шагам:
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой с осью абсцисс (ось \(x\)). Чтобы найти эти точки, приравниваем уравнение \(y\) к нулю:
\[4x-x^2=0\]
Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Перепишем его в виде:
\[x(4-x)=0\]
Такое уравнение имеет два корня: \(x=0\) и \(x=4\).
Шаг 3: Теперь, чтобы найти площадь области, мы должны рассчитать определенный интеграл от \(x=0\) до \(x=4\) от функции \(4x-x^2\). Обозначим площадь области как \(S\):
\[S=\int_{0}^{4} (4x-x^2)dx\]
Шаг 4: Проинтегрируем функцию. Сначала раскроем скобки и затем возьмем неопределенный интеграл по переменной \(x\):
\[S=\int_{0}^{4} 4x-x^2dx=\int_{0}^{4} 4xdx-\int_{0}^{4} x^2dx\]
\[S=2x^2-\frac{1}{3}x^3\ \bigg|_{0}^{4}\]
Шаг 5: Подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим разность:
\[S=(2 \cdot 4^2-\frac{1}{3} \cdot 4^3)-(2 \cdot 0^2-\frac{1}{3} \cdot 0^3)\]
\[S=(32-\frac{64}{3})-(0-0)\]
\[S=\frac{64}{3}\]
Ответ: Площадь области, ограниченной кривыми \(y=4x-x^2\), равна \(\frac{64}{3}\) или около 21.33.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой с осью абсцисс (ось \(x\)). Чтобы найти эти точки, приравниваем уравнение \(y\) к нулю:
\[4x-x^2=0\]
Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Перепишем его в виде:
\[x(4-x)=0\]
Такое уравнение имеет два корня: \(x=0\) и \(x=4\).
Шаг 3: Теперь, чтобы найти площадь области, мы должны рассчитать определенный интеграл от \(x=0\) до \(x=4\) от функции \(4x-x^2\). Обозначим площадь области как \(S\):
\[S=\int_{0}^{4} (4x-x^2)dx\]
Шаг 4: Проинтегрируем функцию. Сначала раскроем скобки и затем возьмем неопределенный интеграл по переменной \(x\):
\[S=\int_{0}^{4} 4x-x^2dx=\int_{0}^{4} 4xdx-\int_{0}^{4} x^2dx\]
\[S=2x^2-\frac{1}{3}x^3\ \bigg|_{0}^{4}\]
Шаг 5: Подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим разность:
\[S=(2 \cdot 4^2-\frac{1}{3} \cdot 4^3)-(2 \cdot 0^2-\frac{1}{3} \cdot 0^3)\]
\[S=(32-\frac{64}{3})-(0-0)\]
\[S=\frac{64}{3}\]
Ответ: Площадь области, ограниченной кривыми \(y=4x-x^2\), равна \(\frac{64}{3}\) или около 21.33.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
