Какова площадь области, ограниченной кривыми y=25-x^2, x=5, x=-5 и осью

Для начала, давайте представим эти кривые на графике, чтобы визуализировать, как они выглядят. Кривая \(y = 25 - x^2\) представляет собой параболу, которая открывается вниз и имеет вершину в точке (0, 25). Кроме того, у нас есть вертикальные линии \(x = 5\) и \(x = -5\).

Вот как это выглядит на графике:
\[график\]

Теперь давайте решим эту задачу, найдя площадь области, ограниченной этими кривыми. Мы можем разбить эту область на две части - верхнюю и нижнюю.

Начнем с верхней части. Поскольку запрошенная область ограничена кривой \(y = 25 - x^2\), мы должны найти интеграл этой функции от \(x = -5\) до \(x = 5\). Вот пошаговый процесс решения:

1. Вычислим первообразную функции \(y = 25 - x^2\). Для этого возьмем интеграл от \(25 - x^2\) по отношению ко всему интервалу \([-5,5]\):

\[\int_{-5}^{5} (25-x^2) \, dx\]

2. Проинтегрируем по отдельности каждое слагаемое:

\[\int_{-5}^{5} 25 \, dx - \int_{-5}^{5} x^2 \, dx\]

3. Проинтегрируем каждое слагаемое:

\[25x \Big|_{-5}^{5} - \frac{1}{3}x^3 \Big|_{-5}^{5}\]

4. Подставим верхний и нижний пределы интеграла:

\[25(5) - \frac{1}{3}(5)^3 - [25(-5) - \frac{1}{3}(-5)^3]\]

5. Выполним вычисления:

\[125 - \frac{125}{3} + 125 + \frac{125}{3}\]

6. Упростим:

\[250\]

Таким образом, площадь верхней части области составляет 250 квадратных единиц.

Теперь перейдем к нижней части. Эта часть ограничена осью x и вертикальными линиями \(x = -5\) и \(x = 5\). Площадь нижней части - это просто прямоугольник со сторонами 5 и 25. Поэтому её площадь равна \(5 \cdot 25 = 125\) квадратных единиц.

Чтобы получить общую площадь всей области, нужно просто сложить площади верхней и нижней частей:

Общая площадь = Площадь верхней части + Площадь нижней части = 250 + 125 = 375 квадратных единиц.

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми \(y = 25 - x^2\), \(x = 5\), \(x = -5\) и осью x, составляет 375 квадратных единиц.