Какова площадь области, ограниченной графиком функции f(x) =5-0,6x², касательной ему в точке с абсциссой x=-3, и прямой

Хорошо, давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1: Найдем точку пересечения функции \( f(x) \) и прямой \( x = 1 \).
Чтобы найти точку пересечения, приравняем \( f(x) \) и \( 1 \):
\[ 5 - 0.6x^2 = 1 \]

Шаг 2: Решим уравнение для точки пересечения.
Вычтем \( 1 \) из обеих сторон:
\[ 0.6x^2 = 4 \]
Делим обе стороны на \( 0.6 \):
\[ x^2 = \frac{4}{0.6} \]
\[ x^2 = 6.6667 \]
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
\[ x = \sqrt{6.6667} \]
\[ x \approx 2.5819 \]

Таким образом, точка пересечения состоит из двух координат: \( (2.5819, 1) \).

Шаг 3: Найдем точку на кривой \( f(x) \), в которой происходит касательная.
Мы знаем, что производная функции \( f(x) \) дает наклон касательной. Найдем производную, чтобы найти наклон:
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(5 - 0.6x^2) \]
\[ f"(x) = -1.2x \]

Подставляем \( x = -3 \) в \( f"(x) \):
\[ f"(-3) = -1.2(-3) \]
\[ f"(-3) = 3.6 \]

Таким образом, наклон касательной в точке с \( x = -3 \) равен \( 3.6 \).

Шаг 4: Найдем уравнение касательной, используя полученный наклон и точку касания.
Формула уравнения прямой вида \( y = mx + n \), где \( m \) - наклон, а \( n \) - смещение (пересечение с осью ординат).

Поэтому, уравнение касательной будет иметь вид \( y = 3.6x + n \).
Чтобы найти \( n \), подставим координаты \( (2.5819, 1) \) в уравнение:
\[ 1 = 3.6(2.5819) + n \]
Решим это уравнение для \( n \):
\[ 1 = 9.2924 + n \]
\[ n = 1 - 9.2924 \]
\[ n = -8.2924 \]

Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид \( y = 3.6x - 8.2924 \).

Шаг 5: Найдем точки пересечения касательной и графика \( f(x) \).
Чтобы найти точки пересечения, приравняем \( f(x) \) и уравнение касательной:
\[ 5 - 0.6x^2 = 3.6x - 8.2924 \]

Приведем квадратичное уравнение к стандартному виду:
\[ 0.6x^2 + 3.6x - 13.2924 = 0 \]

Шаг 6: Решим уравнение с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта.
Дискриминант \( D \) будет равен:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 0.6 \), \( b = 3.6 \), \( c = -13.2924 \).

Рассчитаем дискриминант:
\[ D = 3.6^2 - 4(0.6)(-13.2924) \]
\[ D = 12.96 + 31.95104 \]
\[ D = 44.91104 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня.

Шаг 7: Решим уравнение.
Воспользуемся формулой квадратного корня для нахождения корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения \( a = 0.6 \), \( b = 3.6 \), \( D = 44.91104 \) в формулу:
\[ x = \frac{-3.6 \pm \sqrt{44.91104}}{2(0.6)} \]
\[ x = \frac{-3.6 \pm 6.699713429}{1.2} \]

Разделим на \( 1.2 \):
\[ x_1 = \frac{-3.6 + 6.699713429}{1.2} \approx 3.083 \]
\[ x_2 = \frac{-3.6 - 6.699713429}{1.2} \approx -14.131 \]

Таким образом, точка пересечения касательной и графика \( f(x) \) состоит из двух координат: \( (3.083, 3.6284) \) и \( (-14.131, 2.6284) \).

Шаг 8: Найдем площадь области, ограниченной графиком функции \( f(x) \), касательной и прямой \( x = 1 \).
Площадь можно найти путем вычисления интеграла. Интеграл площади будет равен разности двух интегралов:
\[ \text{Площадь} = \int_{-14.131}^{2.5819} f(x) \, dx - \int_{2.5819}^{1} (3.6x - 8.2924) \, dx \]

Шаг 9: Вычислим первый интеграл.
\[ \int_{-14.131}^{2.5819} f(x) \, dx = \int_{-14.131}^{2.5819}(5 - 0.6x^2) \, dx \]
Первым найдем интеграл \( 0.6x^2 \):
\[ \int 0.6x^2 \, dx = \frac{0.6}{3}x^3 + C \]
\[ \int_{-14.131}^{2.5819} 0.6x^2 \, dx = \left[ \frac{0.6}{3}x^3 \right]_{-14.131}^{2.5819} = \frac{0.6}{3}(2.5819)^3 - \frac{0.6}{3}(-14.131)^3 \]

Затем найдем интеграл \( 5 \):
\[ \int 5 \, dx = 5x + C \]
\[ \int_{-14.131}^{2.5819} 5 \, dx = \left[ 5x \right]_{-14.131}^{2.5819} = 5(2.5819) - 5(-14.131) \]

Вычислим разность двух интегралов:
\[ \int_{-14.131}^{2.5819}(5 - 0.6x^2) \, dx = \frac{0.6}{3}(2.5819)^3 - \frac{0.6}{3}(-14.131)^3 + 5(2.5819) - 5(-14.131) \]

Шаг 10: Вычислим второй интеграл.
\[ \int_{2.5819}^{1} (3.6x - 8.2924) \, dx \]
Первым найдем интеграл \( 3.6x \):
\[ \int 3.6x \, dx = \frac{3.6}{2}x^2 + C \]
\[ \int_{2.5819}^{1} 3.6x \, dx = \left[ \frac{3.6}{2}x^2 \right]_{2.5819}^{1} = \frac{3.6}{2}(1)^2 - \frac{3.6}{2}(2.5819)^2 \]

Затем найдем интеграл \( -8.2924 \):
\[ \int -8.2924 \, dx = -8.2924x + C \]
\[ \int_{2.5819}^{1} -8.2924 \, dx = \left[ -8.2924x \right]_{2.5819}^{1} = -8.2924(1) - (-8.2924)(2.5819) \]

Вычислим разность двух интегралов:
\[ \int_{2.5819}^{1} (3.6x - 8.2924) \, dx = \frac{3.6}{2}(1)^2 - \frac{3.6}{2}(2.5819)^2 - 8.2924(1) - (-8.2924)(2.5819) \]

Шаг 11: Найдем площадь области, вычислив разность двух интегралов:
\[ \text{Площадь} = \left( \frac{0.6}{3}(2.5819)^3 - \frac{0.6}{3}(-14.131)^3 + 5(2.5819) - 5(-14.131) \right) - \left( \frac{3.6}{2}(1)^2 - \frac{3.6}{2}(2.5819)^2 - 8.2924(1) - (-8.2924)(2.5819) \right) \]

Произведем все необходимые вычисления и получим окончательный ответ.