Какова площадь многоугольника, образованного соединением последовательных точек (1,0),(2,1),(3,3),(2,5),(1,2),(0,3

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади многоугольника, известной как формула Гаусса.

У нас есть последовательность точек, образующих многоугольник, на координатной плоскости. Давайте обозначим эти точки как A(1,0), B(2,1), C(3,3), D(2,5), E(1,2) и F(0,3).

Чтобы найти площадь этого многоугольника, мы можем разделить его на несколько треугольников, посчитать площадь каждого треугольника и затем сложить все полученные площади.

Воспользуемся методом разделения на треугольники, начав с точки A (1,0). Соединим точки A, B и F, чтобы получить треугольник AFB. Затем соединим точки B, C и F, чтобы получить треугольник BCF. Продолжим этот процесс, соединяя последовательные точки, пока не закончим на точке A.

Теперь рассмотрим каждый из полученных треугольников:

1. Треугольник AFB:

Для нахождения площади этого треугольника мы можем использовать формулу площади треугольника по координатам вершин. Формула выглядит следующим образом:

\[ S_1 = \frac{{|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|}}{2} \]

Подставляем координаты вершин треугольника AFB:

\[ S_1 = \frac{{|1(1-3) + 2(3-0) + 0(0-1)|}}{2} = \frac{{|-2 + 6 + 0|}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, площадь треугольника AFB равна 3.

2. Треугольник BCF:

Продолжая по тому же принципу, находим площадь этого треугольника:

\[ S_2 = \frac{{|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|}}{2} \]

Подставляем координаты вершин треугольника BCF:

\[ S_2 = \frac{{|2(3-5) + 3(5-3) + 0(3-3)|}}{2} = \frac{{|-4 + 6 + 0|}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Площадь треугольника BCF равна 1.

3. Треугольник CDF:

Продолжая по аналогии, находим площадь этого треугольника:

\[ S_3 = \frac{{|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|}}{2} \]

Подставляем координаты вершин треугольника CDF:

\[ S_3 = \frac{{|3(2-2) + 2(3-3) + 1(3-2)|}}{2} = \frac{{|0 + 0 + 1|}}{2} = \frac{1}{2} \]

Площадь треугольника CDF равна \(\frac{1}{2}\).

Теперь мы должны сложить площади всех трех треугольников, чтобы получить общую площадь многоугольника:

\[S_{\text{многоугольника}} = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\]

Таким образом, площадь многоугольника, образованного соединением точек (1,0),(2,1),(3,3),(2,5),(1,2),(0,3) на координатной плоскости, равна 4.5.