Какова площадь круга, если площадь квадрата, охватывающего его, равна 72

Конечно, я могу помочь с этой задачей!

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади круга и площади квадрата.

Формула для площади круга: \( S = \pi r^2 \),
где \( S \) - площадь круга, а \( r \) - радиус круга.

Формула для площади квадрата: \( S = a^2 \),
где \( S \) - площадь квадрата, а \( a \) - длина стороны квадрата.

Мы знаем, что площадь квадрата, охватывающего круг, равна 72. То есть \( S = 72 \).

Чтобы найти радиус круга, нам нужно выразить его через длину стороны квадрата. Заметим, что диагональ квадрата равна диаметру круга. Так как квадрат охватывает круг, длина диагонали соответствует двойному радиусу круга.

Поэтому длина диагонали квадрата равна \( 2r \).

Диагональ квадрата можно найти с помощью теоремы Пифагора. Так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами \( a, a, \) и \( d \), где \( a \) - сторона квадрата, а \( d \) - диагональ треугольника, то мы можем записать:

\[ a^2 + a^2 = d^2. \]

То есть \[ 2a^2 = d^2. \]

Теперь мы можем записать:

\[ d = \sqrt{2a^2}. \]

Так как площадь круга равна \( \pi r^2 \), а площадь квадрата равна \( a^2 \), мы можем записать соотношение:

\[ \pi r^2 = a^2. \]

Подставим значение диагонали квадрата:

\[ \pi r^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2. \]

Подставим значение диагонали:

\[ \pi r^2 = \left(\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}. \]

Таким образом, получаем уравнение:

\[ \frac{a^2}{2} = 72. \]

Чтобы найти значение стороны квадрата, нужно умножить обе части уравнения на 2:

\[ a^2 = 2 \cdot 72 = 144. \]

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\[ a = \sqrt{144} = 12. \]

Теперь, чтобы найти площадь круга, нужно подставить значение радиуса в формулу для площади круга:

\[ S = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi. \]

Таким образом, площадь круга равна \( 36\pi \) или приближенно 113,1 единицы площади.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь круга, когда известна площадь описывающего его квадрата.