Какова площадь исходного прямоугольника, если его периметр равен 88 см, а его длину уменьшить на 4 см, а ширину

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала, давайте представим прямоугольник и обозначим его длину и ширину символами. Пусть длина исходного прямоугольника равна \(x\) см, а его ширина равна \(y\) см.

Мы знаем, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[P = 2(x + y)\]

Из условия задачи, нам дано, что периметр исходного прямоугольника равен 88 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[88 = 2(x + y)\]

Теперь давайте рассмотрим изменения, которые происходят с прямоугольником. Согласно условию, длина уменьшилась на 4 см, а ширина увеличилась на 8 см. Тогда новые значения длины и ширины прямоугольника можно представить в виде:

Новая длина: \(x - 4\) см
Новая ширина: \(y + 8\) см

Также, условие задачи говорит нам, что при таких изменениях, площадь прямоугольника увеличивается на 10.

Мы можем использовать формулу для площади прямоугольника:

\[S = x \cdot y\]

Выразим исходную площадь прямоугольника через символы:

Исходная площадь: \(xy\)

Теперь, учитывая изменения, мы можем записать уравнение для новой площади:

Новая площадь: \(xy + 10\)

Теперь, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (периметр и площадь) и мы можем решить их для определения значений для длины и ширины прямоугольника.

Решим систему уравнений:

\[\begin{align*}
88 &= 2(x + y) \\
xy + 10 &= (x - 4)(y + 8)
\end{align*}\]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[xy + 10 = xy + 8x - 4y - 32\]

Теперь сократим одинаковые члены смысла:

\[8x - 4y - 42 = 0\]

Восстановим второе уравнение:

\[xy + 10 - xy - 8x + 4y - 32 = 0\]

Снова сократим одинаковые члены и упростим:

\[-8x + 4y - 22 = 0\]

Теперь у нас есть система двух уравнений:

\[\begin{align*}
2x + 2y &= 44 \\
-8x + 4y &= 22
\end{align*}\]

Давайте решим эту систему уравнений. Удобным способом является метод исключения. Домножим первое уравнение на 2 для согласования коэффициентов при \(x\):

\[\begin{align*}
4x + 4y &= 88 \\
-8x + 4y &= 22
\end{align*}\]

Теперь сложим оба уравнения:

\[4x + 4y -8x + 4y = 88 + 22\]

Проведя арифметические операции в правой части, получим:

\[-4x + 8y = 110\]

Теперь разделим это уравнение на 2, чтобы сократить коэффициенты:

\[-2x + 4y = 55\]

Отсюда видно, что \(y = \frac{55 + 2x}{4}\).

Теперь подставим значение \(y\) в первое уравнение системы:

\[2x + 2\left(\frac{55 + 2x}{4}\right) = 44\]

Упростим это уравнение, умножая все члены на 4:

\[8x + 2(55 + 2x) = 176\]

Раскроем скобку и упростим:

\[8x + 110 + 4x = 176\]

Сложим подобные члены:

\[12x + 110 = 176\]

Теперь перенесем 110 на другую сторону уравнения:

\[12x = 176 - 110\]

Выполняя арифметические операции на правой стороне, получим:

\[12x = 66\]

Теперь разделим обе стороны на 12, чтобы выразить \(x\):

\[x = \frac{66}{12}\]

Выполним деление:

\[x = 5.5\]

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти \(y\):

\[2(5.5) + 2y = 44\]

\[11 + 2y = 44\]

Вычтем 11 из обеих сторон:

\[2y = 44 - 11\]

\[2y = 33\]

Разделим на 2:

\[y = \frac{33}{2}\]

Выполним деление:

\[y = 16.5\]

Таким образом, мы получили длину \(x = 5.5\) см и ширину \(y = 16.5\) см исходного прямоугольника.

Теперь, чтобы найти площадь исходного прямоугольника, можно использовать формулу:

\[S = x \cdot y\]

Подставим найденные значения:

\[S = 5.5 \cdot 16.5\]

Выполним умножение:

\[S = 90.75\]

Таким образом, площадь исходного прямоугольника составляет 90.75 см².