Какова площадь грани BCC1B1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1, если известно, что AB = 3, AD = 6 и tg ∠CAC1

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, а также знание понятия тангенса. Давайте рассмотрим каждый шаг по очереди.

1. В начале задачи упоминается прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1. Это значит, что пересечение плоскостей, содержащих грани ABCD и B1C1A1D1, образуют прямоугольник.

2. Вопрос состоит в том, чтобы найти площадь грани BCC1B1. Для этого нам нужно знать длины сторон этой грани.

3. Даны следующие длины сторон: AB = 3 и AD = 6. При этом в задаче указано, что это прямоугольный параллелепипед. Из этих данных мы можем заключить, что BC = AD = 6 (так как противоположные стороны прямоугольника равны друг другу) и CD = AB = 3 (так как противоположные стороны прямоугольника равны друг другу).

4. Теперь давайте рассмотрим угол ∠CAC1. В условии дано, что tg ∠CAC1 = tg α. Здесь α обозначает значение угла ∠CAC1.

5. Тангенс угла α можно определить как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне треугольника. В данном случае, мы можем записать, что tg α = BC / AC1.

6. Для нахождения площади грани BCC1B1, нужно узнать длину стороны AC1. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ACD.

7. По теореме Пифагора, \[AC1^2 = AC^2 + CC1^2\]. Мы уже знаем значения AC (AC = AD = 6) и CC1 (CC1 = BC = 6) по условию задачи. Подставляя значения, мы получаем \[AC1^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\].

8. Взяв квадратный корень обеих частей уравнения, мы найдем значение AC1: \[AC1 = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\].

9. Теперь, имея значение AC1, мы можем выразить tg α: \[tg α = BC / AC1 = 6 / (6\sqrt{2}) = 1 / \sqrt{2} = \sqrt{2} / 2\].

10. Вопрос состоит в том, чтобы найти площадь грани BCC1B1. Эта площадь равна произведению длин сторон BC и C1B1.

11. Используя результаты из шага 3, мы можем записать, что площадь грани BCC1B1 равна 6 * 3 = 18.

Таким образом, площадь грани BCC1B1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1 равна 18.