Какова площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды, если известно, что длина ребра A1A1 равна 3, A3A2

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды, нам понадобятся данные о длинах всех ребер пирамиды. В задаче у нас уже известны некоторые из этих длин. Давайте обозначим следующие ребра пирамиды:

\(A_1A_1"\) - длина ребра базы пирамиды,
\(A_3A_2\) - длина ребра верхней грани пирамиды,
\(A_1"A_2"\) - длина ребра боковой грани пирамиды.

Для нахождения площади полной поверхности правильной усеченной пирамиды, нам понадобится найти площади всех ее граней и сложить их.

Формула для площади грани треугольной пирамиды с высотой \(h\) и сторонами \(a\), \(b\), \(c\), на которую мы можем разделить боковую грань, будет:

\[ S = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2} \]

где \( p = \frac{a + b + c}{2} \) - полупериметр треугольника.

Теперь применим эту формулу к нашей конкретной задаче. Поскольку пирамида правильная, все ее грани будут равнобедренными треугольниками.

Запишем размеры ребер в нашей пирамиде:

\(A_1A_1" = 3\),
\(A_3A_2 = 4\),
\(A_1"A_2"\) - нам неизвестна.

Поскольку пирамида правильная, все ее грани также будут равнобедренными треугольниками. Таким образом, ребро \(A_1"A_2"\) будет такой же длины, как и ребро \(A_1A_1"\).

Используя теорему Пифагора для треугольника \(A_1A_1"A_2"\), мы можем найти длину его высоты \(h\) с помощью следующего уравнения:

\[ h^2 = A_1A_1"^2 - \left(\frac{A_3A_2}{2}\right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ h^2 = 3^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 9 - 4 = 5 \]

\[ h = \sqrt{5} \]

Теперь мы можем найти площадь каждой грани пирамиды.

Площадь грани \(A_1A_1"A_2"\) будет:

\[ S_1 = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2} \]

где \( a = A_1A_1" = 3 \), \( b = h = \sqrt{5} \), \( c = A_1"A_2" = 3 \).

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} + 3}{2} = \frac{6 + \sqrt{5}}{2} = 3 + \frac{\sqrt{5}}{2} \]

\[ S_1 = \frac{\sqrt{\left(3 + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(3 + \frac{\sqrt{5}}{2} - 3\right)\left(3 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5}\right)\left(3 + \frac{\sqrt{5}}{2} - 3\right)}}{2} \]

\[ S_1 = \frac{\sqrt{\left(\frac{9}{2} + 3\sqrt{5} + \frac{5}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)}}{2} \]

\[ S_1 = \frac{\sqrt{\left(\frac{9}{2} + 3\sqrt{5} + \frac{5}{4}\right)\left(\frac{4\sqrt{5}}{4}\right)\left(-\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)\left(0\right)}}{2} \]

\[ S_1 = \frac{\sqrt{\left(\frac{9}{2} + 3\sqrt{5} + \frac{5}{4}\right)\left(-\frac{12}{4}\right)\left(0\right)}}{2} \]

Теперь найдем площадь грани \(A_3A_2A_1"\). Поскольку это также равнобедренный треугольник, применим формулу, но заменяем стороны \(a\), \(b\), \(c\) на их известные значения:

\[ S_2 = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2} \]

где \( a = A_3A_2 = 4 \), \( b = h = \sqrt{5} \), \( c = A_1"A_2" = 3 \).

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + \sqrt{5} + 3}{2} = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \]

\[ S_2 = \frac{\sqrt{\left(\frac{7 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{7 + \sqrt{5} - 4}{2}\right)\left(\frac{7 + \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{7 + \sqrt{5} - 3}{2}\right)}}{2} \]

\[ S_2 = \frac{\sqrt{\left(\frac{12 + 2\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{7 + \sqrt{5} - 4}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{4 + \sqrt{5}}{2}\right)}}{2} \]

\[ S_2 = \frac{\sqrt{\left(\frac{12 + 2\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{4 + \sqrt{5}}{2}\right)}}{2} \]

\[ S_2 = \frac{\sqrt{\left(\frac{3(12 + 2\sqrt{5})}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}(3 + \sqrt{5})}{2}\right)}}{2} \]

\[ S_2 = \frac{\sqrt{\left(\frac{3(12 + 2\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})\sqrt{5}}{4}\right)}}{2} \]

Наконец, найдем площадь грани базы пирамиды, которая является равносторонним треугольником. Площадь равностороннего треугольника можно выразить следующей формулой:

\[ S_3 = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \]

где \( a = A_1A_1" = 3 \).

\[ S_3 = \frac{\sqrt{3}(3^2)}{4} = \frac{\sqrt{3}(9)}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Наконец, для получения полной площади поверхности правильной усеченной пирамиды, нам нужно сложить площади всех ее граней:

\[ S = S_1 + S_2 + S_3 \]

\[ S = \frac{\sqrt{\left(\frac{9}{2} + 3\sqrt{5} + \frac{5}{4}\right)\left(-\frac{12}{4}\right)\left(0\right)}}{2} + \frac{\sqrt{\left(\frac{3(12 + 2\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})\sqrt{5}}{4}\right)}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Теперь, подставляя значения и выполняя вычисления, мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды. К сожалению, значения некоторых частей в формулах сложно упростить математически, но вы можете использовать калькулятор или программное обеспечение для численных вычислений.