Какова площадь фигуры, ограниченной линиями a = 3, b = 5 и графиком функции f(x) = 6x-x^2?

Какова площадь фигуры, ограниченной линиями a = 3, b = 5 и графиком функции f(x) = 6x-x^2?
Plamennyy_Zmey

Plamennyy_Zmey

Для решения этой задачи, нам необходимо найти точки пересечения функции f(x)=6xx2 с линиями a=3 и b=5, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями и графиком функции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции f(x) с линией a=3.
Для этого приравняем f(x) к a, и решим уравнение:
6xx2=3

Шаг 2: Решим уравнение 6xx2=3:
x2+6x3=0

Шаг 3: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
(x26x+3)=0
(x3)(x1)=0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: x=3 и x=1.

Шаг 4: Теперь найдем точку пересечения функции f(x) с линией b=5.
Аналогично, приравняем f(x) к b и решим уравнение:
6xx2=5

Шаг 5: Решим уравнение 6xx2=5:
x2+6x5=0

Шаг 6: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
(x26x+5)=0
(x1)(x5)=0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: x=1 и x=5.

Шаг 7: Теперь мы имеем три точки пересечения: x=3, x=1 и x=5.
Мы можем заметить, что x=1 - это общая точка пересечения обоих линий.

Шаг 8: Определим значения функции f(x) в точках пересечения.
Для этого подставим каждую точку пересечения в уравнение функции f(x):
f(3)=6332=189=9
f(1)=6112=61=5
f(5)=6552=3025=5

Шаг 9: Изобразим полученные точки на графике функции f(x) и линиях a=3 и b=5.

Шаг 10: Теперь нужно определить, какая область находится между графиком функции и линиями a=3 и b=5.
Мы видим, что у нас есть две области - одна слева от x=1 и другая между x=1 и x=5.
Чтобы найти площадь этих областей, мы можем использовать определенный интеграл.

Шаг 11: Площадь области слева от x=1 равна:
Площадь=a1f(x)dx
Площадь=31(6xx2)dx

Шаг 12: Интегрируя, получаем:
Площадь=[3x213x3]31
Площадь=(3121313)(3321333)
Площадь=(313)(27273)
Площадь=(313)(279)
Площадь=8318
Площадь=83543=463

Шаг 13: Площадь области между x=1 и x=5 равна:
Площадь=15f(x)dx
Площадь=15(6xx2)dx

Шаг 14: Интегрируя, получаем:
Площадь=[3x213x3]15
Площадь=(3521353)(3121313)
Площадь=(751253)(313)
Площадь=(751253)(313)
Площадь=(22531253)(9313)
Площадь=(2251253)(913)
Площадь=100383=923

Шаг 15: В итоге, площадь фигуры, ограниченной линиями a=3, b=5 и графиком функции f(x)=6xx2 составляет 463+923=463 квадратных единиц.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello