Какова площадь фигуры, ограниченной линиями a = 3, b = 5 и графиком функции f(x) = 6x-x^2?

Для решения этой задачи, нам необходимо найти точки пересечения функции $f(x)=6x-x^2$ с линиями $a=3$ и $b=5$, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями и графиком функции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции $f(x)$ с линией $a=3$.
Для этого приравняем $f(x)$ к $a$, и решим уравнение:
$$6x-x^2=3$$

Шаг 2: Решим уравнение $6x-x^2=3$:
$$-x^2+6x-3=0$$

Шаг 3: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
$$-(x^2-6x+3)=0$$
$$-(x-3)(x-1)=0$$

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: $x=3$ и $x=1$.

Шаг 4: Теперь найдем точку пересечения функции $f(x)$ с линией $b=5$.
Аналогично, приравняем $f(x)$ к $b$ и решим уравнение:
$$6x-x^2=5$$

Шаг 5: Решим уравнение $6x-x^2=5$:
$$-x^2+6x-5=0$$

Шаг 6: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
$$-(x^2-6x+5)=0$$
$$-(x-1)(x-5)=0$$

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: $x=1$ и $x=5$.

Шаг 7: Теперь мы имеем три точки пересечения: $x=3$, $x=1$ и $x=5$.
Мы можем заметить, что $x=1$ - это общая точка пересечения обоих линий.

Шаг 8: Определим значения функции $f(x)$ в точках пересечения.
Для этого подставим каждую точку пересечения в уравнение функции $f(x)$:
$$f(3)=6\cdot 3-3^2=18-9=9$$
$$f(1)=6\cdot 1-1^2=6-1=5$$
$$f(5)=6\cdot 5-5^2=30-25=5$$

Шаг 9: Изобразим полученные точки на графике функции $f(x)$ и линиях $a=3$ и $b=5$.

Шаг 10: Теперь нужно определить, какая область находится между графиком функции и линиями $a=3$ и $b=5$.
Мы видим, что у нас есть две области - одна слева от $x=1$ и другая между $x=1$ и $x=5$.
Чтобы найти площадь этих областей, мы можем использовать определенный интеграл.

Шаг 11: Площадь области слева от $x=1$ равна:
$$\text{Площадь}={\int }_a^{1}f(x)dx$$
$$\text{Площадь}={\int }_3^1(6x-x^2)dx$$

Шаг 12: Интегрируя, получаем:
$$\text{Площадь}={[3x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_3^1$$
$$\text{Площадь}=(3\cdot 1^2-\frac{1}{3}\cdot 1^3)-(3\cdot 3^2-\frac{1}{3}\cdot 3^3)$$
$$\text{Площадь}=(3-\frac{1}{3})-(27-\frac{27}{3})$$
$$\text{Площадь}=(3-\frac{1}{3})-(27-9)$$
$$\text{Площадь}=\frac{8}{3}-18$$
$$\text{Площадь}=\frac{8}{3}-\frac{54}{3}=-\frac{46}{3}$$

Шаг 13: Площадь области между $x=1$ и $x=5$ равна:
$$\text{Площадь}={\int }_1^{5}f(x)dx$$
$$\text{Площадь}={\int }_1^5(6x-x^2)dx$$

Шаг 14: Интегрируя, получаем:
$$\text{Площадь}={[3x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_1^5$$
$$\text{Площадь}=(3\cdot 5^2-\frac{1}{3}\cdot 5^3)-(3\cdot 1^2-\frac{1}{3}\cdot 1^3)$$
$$\text{Площадь}=(75-\frac{125}{3})-(3-\frac{1}{3})$$
$$\text{Площадь}=(75-\frac{125}{3})-(3-\frac{1}{3})$$
$$\text{Площадь}=(\frac{225}{3}-\frac{125}{3})-(\frac{9}{3}-\frac{1}{3})$$
$$\text{Площадь}=(\frac{225-125}{3})-(\frac{9-1}{3})$$
$$\text{Площадь}=\frac{100}{3}-\frac{8}{3}=\frac{92}{3}$$

Шаг 15: В итоге, площадь фигуры, ограниченной линиями $a=3$, $b=5$ и графиком функции $f(x)=6x-x^2$ составляет $-\frac{46}{3}+\frac{92}{3}=\frac{46}{3}$ квадратных единиц.