Какова площадь фигуры, ограниченной линиями a = 3, b = 5 и графиком функции f(x) = 6x-x^2?

Для решения этой задачи, нам необходимо найти точки пересечения функции \(f(x) = 6x - x^2\) с линиями \(a = 3\) и \(b = 5\), а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями и графиком функции.

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции \(f(x)\) с линией \(a = 3\).
Для этого приравняем \(f(x)\) к \(a\), и решим уравнение:
\[6x - x^2 = 3\]

Шаг 2: Решим уравнение \(6x - x^2 = 3\):
\[-x^2 + 6x - 3 = 0\]

Шаг 3: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
\[-(x^2 - 6x + 3) = 0\]
\[-(x - 3)(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: \(x = 3\) и \(x = 1\).

Шаг 4: Теперь найдем точку пересечения функции \(f(x)\) с линией \(b = 5\).
Аналогично, приравняем \(f(x)\) к \(b\) и решим уравнение:
\[6x - x^2 = 5\]

Шаг 5: Решим уравнение \(6x - x^2 = 5\):
\[-x^2 + 6x - 5 = 0\]

Шаг 6: Решим данное уравнение с помощью факторизации:
\[-(x^2 - 6x + 5) = 0\]
\[-(x - 1)(x - 5) = 0\]

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: \(x = 1\) и \(x = 5\).

Шаг 7: Теперь мы имеем три точки пересечения: \(x = 3\), \(x = 1\) и \(x = 5\).
Мы можем заметить, что \(x = 1\) - это общая точка пересечения обоих линий.

Шаг 8: Определим значения функции \(f(x)\) в точках пересечения.
Для этого подставим каждую точку пересечения в уравнение функции \(f(x)\):
\[f(3) = 6 \cdot 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9\]
\[f(1) = 6 \cdot 1 - 1^2 = 6 - 1 = 5\]
\[f(5) = 6 \cdot 5 - 5^2 = 30 - 25 = 5\]

Шаг 9: Изобразим полученные точки на графике функции \(f(x)\) и линиях \(a = 3\) и \(b = 5\).

Шаг 10: Теперь нужно определить, какая область находится между графиком функции и линиями \(a = 3\) и \(b = 5\).
Мы видим, что у нас есть две области - одна слева от \(x = 1\) и другая между \(x = 1\) и \(x = 5\).
Чтобы найти площадь этих областей, мы можем использовать определенный интеграл.

Шаг 11: Площадь области слева от \(x = 1\) равна:
\[\text{Площадь} = \int_{a}^{1} f(x) \, dx\]
\[\text{Площадь} = \int_{3}^{1} (6x - x^2) \, dx\]

Шаг 12: Интегрируя, получаем:
\[\text{Площадь} = \left[3x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{3}^{1}\]
\[\text{Площадь} = (3 \cdot 1^2 - \frac{1}{3} \cdot 1^3) - (3 \cdot 3^2 - \frac{1}{3} \cdot 3^3)\]
\[\text{Площадь} = (3 - \frac{1}{3}) - (27 - \frac{27}{3})\]
\[\text{Площадь} = (3 - \frac{1}{3}) - (27 - 9)\]
\[\text{Площадь} = \frac{8}{3} - 18\]
\[\text{Площадь} = \frac{8}{3} - \frac{54}{3} = -\frac{46}{3}\]

Шаг 13: Площадь области между \(x = 1\) и \(x = 5\) равна:
\[\text{Площадь} = \int_{1}^{5} f(x) \, dx\]
\[\text{Площадь} = \int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx\]

Шаг 14: Интегрируя, получаем:
\[\text{Площадь} = \left[3x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{5}\]
\[\text{Площадь} = (3 \cdot 5^2 - \frac{1}{3} \cdot 5^3) - (3 \cdot 1^2 - \frac{1}{3} \cdot 1^3)\]
\[\text{Площадь} = (75 - \frac{125}{3}) - (3 - \frac{1}{3})\]
\[\text{Площадь} = (75 - \frac{125}{3}) - (3 - \frac{1}{3})\]
\[\text{Площадь} = (\frac{225}{3} - \frac{125}{3}) - (\frac{9}{3} - \frac{1}{3})\]
\[\text{Площадь} = (\frac{225 - 125}{3}) - (\frac{9 - 1}{3})\]
\[\text{Площадь} = \frac{100}{3} - \frac{8}{3} = \frac{92}{3}\]

Шаг 15: В итоге, площадь фигуры, ограниченной линиями \(a = 3\), \(b = 5\) и графиком функции \(f(x) = 6x - x^2\) составляет \(-\frac{46}{3} + \frac{92}{3} = \frac{46}{3}\) квадратных единиц.