Какова площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=9-x^2, x=-1 и x=2, а также осью

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции \(y=9-x^2\), прямой \(x=-1\), прямой \(x=2\) и осью абсцисс, мы должны разделить эту фигуру на две части: одну часть между функцией и прямыми, и вторую часть между функцией и осью абсцисс. Затем мы можем вычислить площади каждой части и сложить их, чтобы получить итоговую площадь фигуры.

Первым шагом найдем точки пересечения функции \(y=9-x^2\) с прямыми \(x=-1\) и \(x=2\). Для этого подставим значения \(x\) в уравнение функции и решим полученные уравнения для \(y\):

При \(x=-1\):
\[y=9-(-1)^2=9-1=8.\]

При \(x=2\):
\[y=9-(2)^2=9-4=5.\]

Таким образом, функция \(y=9-x^2\) пересекает прямые \(x=-1\) и \(x=2\) в точках \((-1, 8)\) и \((2, 5)\) соответственно.

Теперь мы можем построить график функции \(y=9-x^2\) и отметить на нем две найденные точки пересечения:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-1 & 8 \\
2 & 5 \\
\end{array}
\]

Построив график, мы видим, что фигура, ограниченная графиком функции, прямыми и осью абсцисс, выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\text{---} \\
\text{---} \\
\text{---} \\
\text{---} \\
\text{---} \\
\text{---} \\
\end{array}
\]

Между графиком функции и прямыми \(x=-1\) и \(x=2\) у нас образуется треугольник, а между графиком функции и осью абсцисс - фигура, напоминающая половину параболы.

Чтобы вычислить площадь треугольника, нам понадобится знать его высоту и основание. Высота треугольника - это расстояние между прямыми \(x=-1\) и \(x=2\) вдоль оси \(y\). Основание треугольника - это горизонтальное расстояние между точками пересечения функции с прямыми.

Высота треугольника:
\(\text{Высота} = 8 - 5 = 3.\)

Основание треугольника:
\(\text{Основание} = 2 - (-1) = 3.\)

Теперь, используя формулу для площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\), можем вычислить площадь треугольника:

\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5.
\]

Площадь фигуры, ограниченной графиками функции, прямыми и осью абсцисс, равна сумме площади треугольника и площади фигуры под параболой.

Для вычисления площади фигуры под параболой, мы заметим, что это половина площади параболы \(y=9-x^2\):

\[
S_{\text{параболы}} = \frac{1}{2} \times \int_{-1}^{2} (9-x^2) \, dx.
\]

Для вычисления интеграла \(\int_{-1}^{2} (9-x^2) \, dx\), мы можем использовать антипроизводную функции \(y = 9-x^2\), которая равна \(9x - \frac{x^3}{3}\):

\[
S_{\text{параболы}} = \frac{1}{2} \times \left[(9 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (9 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3})\right] = \frac{1}{2} \times (18 - \frac{8}{3} + 9 + \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \times (27 - \frac{7}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{72}{3} = \frac{36}{3} = 12.
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функции \(y=9-x^2\), прямой \(x=-1\), прямой \(x=2\) и осью абсцисс, равна сумме площади треугольника и площади фигуры под параболой:

\[
S_{\text{фигуры}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{параболы}} = 4.5 + 12 = 16.5.
\]

Таким образом, площадь этой фигуры равна \(16.5\) квадратным единицам.