Какова площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=9-x^2, x=-1 и x=2, а также осью

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции $y=9-x^2$, прямой $x=-1$, прямой $x=2$ и осью абсцисс, мы должны разделить эту фигуру на две части: одну часть между функцией и прямыми, и вторую часть между функцией и осью абсцисс. Затем мы можем вычислить площади каждой части и сложить их, чтобы получить итоговую площадь фигуры.

Первым шагом найдем точки пересечения функции $y=9-x^2$ с прямыми $x=-1$ и $x=2$. Для этого подставим значения $x$ в уравнение функции и решим полученные уравнения для $y$:

При $x=-1$:
$$y=9-(-1{)}^2=9-1=8.$$

При $x=2$:
$$y=9-(2{)}^2=9-4=5.$$

Таким образом, функция $y=9-x^2$ пересекает прямые $x=-1$ и $x=2$ в точках $(-1,8)$ и $(2,5)$ соответственно.

Теперь мы можем построить график функции $y=9-x^2$ и отметить на нем две найденные точки пересечения:

$$\begin{array}{cc}x& y\\ -1& 8\\ 2& 5\end{array}$$

Построив график, мы видим, что фигура, ограниченная графиком функции, прямыми и осью абсцисс, выглядит следующим образом:

$$\begin{array}{c}\text{---}\\ \text{---}\\ \text{---}\\ \text{---}\\ \text{---}\\ \text{---}\end{array}$$

Между графиком функции и прямыми $x=-1$ и $x=2$ у нас образуется треугольник, а между графиком функции и осью абсцисс - фигура, напоминающая половину параболы.

Чтобы вычислить площадь треугольника, нам понадобится знать его высоту и основание. Высота треугольника - это расстояние между прямыми $x=-1$ и $x=2$ вдоль оси $y$. Основание треугольника - это горизонтальное расстояние между точками пересечения функции с прямыми.

Высота треугольника:
$\text{Высота}=8-5=3.$

Основание треугольника:
$\text{Основание}=2-(-1)=3.$

Теперь, используя формулу для площади треугольника $S=\frac{1}{2}\times \text{Основание}\times \text{Высота}$, можем вычислить площадь треугольника:

$$S_{\text{треугольника}}=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{1}{2}\times 9=4.5.$$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функции, прямыми и осью абсцисс, равна сумме площади треугольника и площади фигуры под параболой.

Для вычисления площади фигуры под параболой, мы заметим, что это половина площади параболы $y=9-x^2$:

$$S_{\text{параболы}}=\frac{1}{2}\times {\int }_{-1}^2(9-x^2)dx.$$

Для вычисления интеграла ${\int }_{-1}^2(9-x^2)dx$, мы можем использовать антипроизводную функции $y=9-x^2$, которая равна $9x-\frac{x^3}{3}$:

$$S_{\text{параболы}}=\frac{1}{2}\times [(9\cdot 2-\frac{2^3}{3})-(9\cdot (-1)-\frac{(-1{)}^3}{3})]=\frac{1}{2}\times (18-\frac{8}{3}+9+\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\times (27-\frac{7}{3})=\frac{1}{2}\times \frac{72}{3}=\frac{36}{3}=12.$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функции $y=9-x^2$, прямой $x=-1$, прямой $x=2$ и осью абсцисс, равна сумме площади треугольника и площади фигуры под параболой:

$$S_{\text{фигуры}}=S_{\text{треугольника}}+S_{\text{параболы}}=4.5+12=16.5.$$

Таким образом, площадь этой фигуры равна $16.5$ квадратным единицам.