Какова площадь фигуры, которая ограничена графиком функции y=5-x^2?

Хорошо, давайте решим вашу задачу! Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=5-x^2\), мы должны вычислить определенный интеграл функции от одного значения \(x\) до другого. Этот интеграл будет представлять собой площадь под кривой.

Для начала, давайте построим график функции \(y=5-x^2\), чтобы увидеть, как она выглядит.

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
x & y \\
\hline
-2 & 1 \\
-1 & 4 \\
0 & 5 \\
1 & 4 \\
2 & 1 \\
\end{{array}}
\]

Построив график, мы видим, что это парабола, открывающаяся вниз. Она пересекает ось Y в точке (0, 5) и симметрична относительно вертикальной линии \(x=0\). Важно отметить, что площадь фигуры будет положительной, так как функция всегда находится выше оси X в диапазоне значений, о котором мы говорим.

Итак, чтобы найти площадь фигуры, мы должны найти интеграл функции \(y=5-x^2\) от \(x_1\) до \(x_2\), где \(x_1\) и \(x_2\) - значения \(x\)-координат точек пересечения с осью X.

Чтобы найти эти значения, решим уравнение \(y=5-x^2=0\):

\[
\begin{{align*}}
5-x^2 &= 0 \\
x^2 &= 5 \\
x &= \pm\sqrt{5} \\
\end{{align*}}
\]

Таким образом, точки пересечения с осью X равны \(x_1 = -\sqrt{5}\) и \(x_2 = \sqrt{5}\).

Теперь мы готовы вычислить площадь фигуры, используя интеграл функции \(y=5-x^2\) от \(x_1\) до \(x_2\):

\[
\begin{{align*}}
S &= \int_{{x_1}}^{{x_2}} (5-x^2) \, dx \\
&= \left[5x - \frac{{x^3}}{3}\right]_{{x_1}}^{{x_2}} \\
&= \left[5\sqrt{5} - \frac{{(\sqrt{5})^3}}{3}\right] - \left[5(-\sqrt{5}) - \frac{{(-\sqrt{5})^3}}{3}\right] \\
&= \left(5\sqrt{5} - \frac{{5\sqrt{5}}}{3}\right) - \left(-5\sqrt{5} + \frac{{5\sqrt{5}}}{3}\right) \\
&= \frac{{25\sqrt{5}}}{3} + \frac{{25\sqrt{5}}}{3} \\
&= \frac{{50\sqrt{5}}}{3}
\end{{align*}}
\]

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y=5-x^2\), равна \(\frac{{50\sqrt{5}}}{3}\) квадратных единиц.