Какова площадь фигуры, которая ограничена графиками уравнений у = √x, у = -√x и х

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y = \sqrt{x}\), \(y = -\sqrt{x}\) и \(x\).

Для начала, давайте построим графики этих функций.

График уравнения \(y = \sqrt{x}\) представляет собой положительную половину параболы, которая проходит через начало координат (0, 0) и расширяется вправо.
График уравнения \(y = -\sqrt{x}\) представляет собой отрицательную половину параболы, которая также проходит через начало координат (0, 0) и также расширяется вправо.

Для определения площади фигуры, ограниченной этими графиками, нам нужно найти точки их пересечения. То есть нам нужно решить систему уравнений \(\sqrt{x} = -\sqrt{x}\) и \(\sqrt{x} = x\).

Решим первое уравнение:
\(\sqrt{x} = -\sqrt{x}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(x = (-\sqrt{x})^2\)
\(x = x\), что верно для любого значения x.

Получается, что графики функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = -\sqrt{x}\) не пересекаются.

Теперь решим второе уравнение:
\(\sqrt{x} = x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(x = x^2\)

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:
\(x^2 - x = 0\)

Факторизуем его:
\(x(x - 1) = 0\)

Таким образом, у нас есть две возможные точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь давайте проверим, какие значения y соответствуют этим значениям x на графиках функций.

Подставим \(x = 0\) в уравнения \(y = \sqrt{x}\) и \(y = -\sqrt{x}\):
Для \(y = \sqrt{x}\) получаем \(y = \sqrt{0} = 0\).
Для \(y = -\sqrt{x}\) получаем \(y = -\sqrt{0} = 0\).

Подставим \(x = 1\) в уравнения \(y = \sqrt{x}\) и \(y = -\sqrt{x}\):
Для \(y = \sqrt{x}\) получаем \(y = \sqrt{1} = 1\).
Для \(y = -\sqrt{x}\) получаем \(y = -\sqrt{1} = -1\).

Таким образом, мы получаем две точки пересечения графиков: (0, 0) и (1, 1).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками, мы должны вычислить интеграл функции \(y = \sqrt{x}\) в пределах от 0 до 1 и интеграл функции \(y = -\sqrt{x}\) в пределах от 0 до 1.

Интеграл функции \(y = \sqrt{x}\) в пределах от 0 до 1 можно выразить следующим образом:
\[
\int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}
\]

Упростим эту формулу:
\[
\int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}
\]

Интеграл функции \(y = -\sqrt{x}\) в пределах от 0 до 1 можно выразить следующим образом:
\[
\int_{0}^{1} -\sqrt{x} \, dx = -\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}
\]

Упростим эту формулу:
\[
\int_{0}^{1} -\sqrt{x} \, dx = -\frac{2}{3} + 0 = -\frac{2}{3}
\]

Теперь найдем разность этих двух интегралов, чтобы получить площадь фигуры:
\[
\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y = \sqrt{x}\), \(y = -\sqrt{x}\) и \(x\), равна \(\frac{4}{3}\).

Я надеюсь, этот ответ был подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.