Какова площадь фигуры, изображенной на разлинованной в клетку бумаге с стороной клетки длиной

Чтобы решить эту задачу, нужно приступить к анализу фигуры и определить, какой у нее вид.

Поскольку нам дана разлинованная в клетку бумага, мы можем представить фигуру как совокупность клеток. Изображение на бумаге состоит из нескольких частей - прямоугольника с расположенным внутри треугольником.

Начнем с вычисления площади прямоугольника. Мы знаем, что сторона клетки имеет длину, обозначим ее через \(a\). Чтобы найти площадь прямоугольника, умножим его длину на ширину. Длина прямоугольника равна длине стороны клетки, то есть \(a\). Ширина прямоугольника также равна длине стороны клетки, поскольку боковые стороны прямоугольника параллельны и равны между собой. Итак, площадь прямоугольника равна \(a \times a = a^2\).

Теперь рассмотрим треугольник, расположенный внутри прямоугольника. Этот треугольник образуется двумя диагоналями прямоугольника и одной стороной прямоугольника. Поскольку сторона прямоугольника равна длине стороны клетки \(a\), а диагонали прямоугольника являются его диагоналями,то между сторонами треугольника имеется соотношение 1:2:1 по сторонам треугольника. Значит, длина стороны треугольника равна \(a\), а диагонали треугольника равны \(\frac{2}{3}a\) и \(\frac{4}{3}a\).

Площадь треугольника можно вычислить с использованием формулы площади треугольника, в которой используется полупериметр треугольника и радиус вписанной окружности, а затем рассчитывается с помощью формулы Герона. Однако для данной задачи нет необходимости использовать сложные формулы.

Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, по которым вычислить площадь каждого из них и затем сложить эти площади, чтобы получить площадь всего треугольника.

Каждый прямоугольный треугольник имеет катеты, которые совпадают с диагоналями прямоугольника. Поэтому мы можем их вычислить следующим образом:

Катет 1: \(\frac{2}{3}a\)
Катет 2: \(\frac{4}{3}a\)

Площадь каждого прямоугольного треугольника можно рассчитать, умножив половину произведения длин его катетов. Таким образом, площадь каждого прямоугольного треугольника равна:

\(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}a \times \frac{4}{3}a = \frac{1}{2} \times \frac{8}{9}a^2 = \frac{4}{9}a^2\)

Наконец, сложим площадь прямоугольника и площадь двух прямоугольных треугольников, чтобы найти общую площадь фигуры:

Площадь фигуры = Площадь прямоугольника + Площадь прямоугольного треугольника + Площадь прямоугольного треугольника

Площадь фигуры = \(a^2 + \frac{4}{9}a^2 + \frac{4}{9}a^2 = a^2 + \frac{8}{9}a^2 = \frac{9}{9}a^2+\frac{8}{9}a^2 = \frac{17}{9}a^2\)

Таким образом, площадь фигуры равна \(\frac{17}{9}a^2\).