Какова площадь части окружности, закрашенной внутри вписанного квадрата со стороной

Данная задача требует расчета площади части окружности, закрашенной внутри вписанного квадрата. Для решения этой задачи, нам необходимо использовать некоторые геометрические свойства.

У нас есть вписанный квадрат со стороной \(a\). Построим окружность, вписанную в этот квадрат. Чтобы облегчить вычисления, возьмем радиус этой окружности, обозначим его как \(r\).

Теперь давайте рассмотрим квадратную сетку, на которой мы построим фигуры для исследования. Каждый квадрат сетки будет иметь сторону \(1\). Вписанный квадрат будет иметь сторону \(a\) квадратов. А окружность будет вписана в этот квадрат со стороной \(a\) квадратов.

Площадь квадрата можно найти, используя формулу \(S_{\text{квадрата}} = a^2\). Радиус окружности можно найти по формуле \(r = \frac{a}{2}\). Так как радиус окружности - это половина стороны вписанного квадрата, то каждую сторону вписанного квадрата можно представить как сумму двух радиусов окружности: \(a = 2r\).

Теперь, чтобы найти площадь части окружности, закрашенной внутри вписанного квадрата, мы должны вычислить, сколько квадратов нужно закрасить и выразить это в площади. Для этого, давайте разделим окружность на \(4\) равные части, соединив середины сторон квадрата с центром окружности.

Мы получим четыре равные части окружности, каждая из которых будет представлять одну четверть площади окружности. Эту часть мы закрашиваем.

Таким образом, площадь одной из четвертей окружности можно найти, используя формулу для площади круга: \(S_{\text{окружности}} = \pi r^2\), где \(\pi\) - это число "пи" (примерное значение 3.14).

Площадь закрашенной части окружности будет равна \(S_{\text{закрашенной части}} = \frac{1}{4} \times S_{\text{окружности}}\).

Теперь давайте подставим значения в формулу и найдем площадь части окружности, закрашенной внутри вписанного квадрата:

\[S_{\text{закрашенной части}} = \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times \frac{a^2}{4}\]

Таким образом, площадь части окружности, закрашенной внутри вписанного квадрата со стороной \(a\), равна \(\frac{1}{4} \times \pi \times \frac{a^2}{4}\).