Які довжини катетів прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза має довжину 17 см, а синус одного з гострих кутів

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник, с гипотенузой длиной 17 см и синусом одного из острых углов 8/17. Нам нужно найти длины катетов.

1. Давайте определим, какой из углов является гострым углом. Обозначим его через \(x\).

2. Мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. Так как один угол является прямым (90 градусов), то сумма двух других углов должна быть также 90 градусов. Обозначим второй острый угол через \(y\).

3. Используя определение синуса, мы знаем, что \(\sin(x) = \frac{{\text{{против}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\). Так как гипотенуза равна 17 см, а противоположный катета угла \(x\) неизвестен, мы можем записать: \(\sin(x) = \frac{{\text{{против}}}}{{17}} = \frac{8}{{17}}\).

4. Решим уравнение относительно противоположного катета: \(\frac{{\text{{против}}}}{{17}} = \frac{8}{{17}}\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 17: \(\text{{против}} = 8\).

5. Теперь нам нужно найти длину прилежащего катета. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза. В нашем случае, мы знаем, что \(a = 8\) и \(c = 17\), поэтому получаем: \(8^2 + b^2 = 17^2\).

6. Вычислим это уравнение: \(64 + b^2 = 289\). Чтобы найти значение \(b^2\), вычтем 64 из обеих сторон: \(b^2 = 225\).

7. Извлекаем корень из обеих сторон уравнения: \(b = \sqrt{225}\). Поскольку длина не может быть отрицательной, получаем: \(b = 15\).

Таким образом, длина противоположного катета равна 8 см, а длина прилежащего катета равна 15 см.