Какова площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, если боковое ребро образует угол 60° с плоскостью основания

Для решения этой задачи, нам нужно использовать некоторые свойства треугольной пирамиды. Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}.\]

Нам известно, что боковое ребро образует угол 60° с плоскостью основания. Это означает, что мы можем провести высоту пирамиды, которая будет равноправной направлена к боковому ребру и будет образовывать угол 60° с радиусом окружностей, описанных около основания. Поэтому можем заметить, что получится прямоугольный треугольник.

Давайте обозначим сторону основания треугольной пирамиды как a. Тогда, сторона боковой поверхности будет также равна a. Далее, длина высоты пирамиды обозначим как h.

Так как боковая сторона образует угол 60° с плоскостью основания, то другая сторона треугольника находится под углом 90° к плоскости основания и равна радиусу окружности p. Тогда, мы можем применить свойства прямоугольного треугольника и найти значения сторон треугольника.

Сторона a, по определению, равна радиусу окружности p. Тогда, сторона треугольника, противолежащая углу 60° будет равна \(a/2\) (по свойству равностороннего треугольника). Сторона противолежащая прямому углу будет равна p.

Теперь мы можем найти высоту треугольной пирамиды h используя теорему Пифагора. У нас есть гипотенуза p, и две катеты \(a/2\) и h. Тогда можем записать следующее уравнение:

\[(a/2)^2 + h^2 = p^2.\]

Решив это уравнение относительно h, получим значение высоты треугольной пирамиды h.

Теперь, когда у нас есть значение высоты h и длина стороны основания a, мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}.\]

Периметр основания можно найти, зная значение стороны основания a. Так как у нас треугольное основание, периметр будет равен 3a.

Подставляя все значения в формулу для площади боковой поверхности, получим ответ на задачу.