1) Постройте на различных чертежах следующие треугольники: а) Треугольник А1В1С1, который является симметричным

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди и построим треугольники на чертежах.

а) Чтобы построить треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно точки D(1;-1), нам нужно использовать основные свойства симметрии.

Шаг 1: Построим треугольник АВС

Предположим, что у нас есть координаты вершин А(3;4), В(6;2) и С(1;1). Построим эти точки на координатной плоскости.

Теперь у нас есть треугольник АВС.

Шаг 2: Найдем точку симметрии D(1;-1)

Симметричная точка D будет иметь такие же координаты, но с противоположным знаком. То есть D будет иметь координаты (1;-1).

Теперь у нас есть точка симметрии D.

Шаг 3: Построим симметричный треугольник А1В1С1

Чтобы построить симметричный треугольник, мы должны соединить каждую вершину исходного треугольника с ее симметричной вершиной относительно точки D.

Таким образом, А1 будет иметь координаты (5;2), так как она находится на расстоянии 4 единиц вправо и 3 единицы вверх от точки D.

В1 будет иметь координаты (0;3), так как она находится на расстоянии 6 единиц влево и 5 единиц нажим от точки D.

С1 будет иметь координаты (7;0), так как она находится на расстоянии 6 единиц вправо и 1 единицу нажим от точки D.

Теперь у нас есть треугольник А1В1С1, который является симметричным треугольнику АВС относительно точки D(1;-1).

б) Теперь рассмотрим треугольник А2В2С2, который является симметричным треугольнику АВС относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Шаг 1: Рассчитаем координаты биссектрисы первого и третьего углов

Для нахождения биссектрисы первого и третьего координатных углов нам нужно сначала найти эти углы.

Угол между осью x и стороной треугольника АВ - это первый координатный угол.

Угол между стороной треугольника АВ и осью y - это третий координатный угол.

Углы первого и третьего координатных углов будут равны, так как треугольник АВС равнобедренный (сторона АВ равна стороне ВС).

Угол первого и третьего координатных углов можно найти, используя тангенс этого угла.

Тангенс угла первого и третьего координатных углов равен отношению координат y к координатам x, так как сторона АВ пересекает ось x и ось y.

Тангенс угла будет равен отношению 2/3.

Теперь мы можем найти угол, используя арктангенс (тангенс-1) и найти его половину, чтобы найти биссектрису.

Угол первого и третьего координатных углов будет равен 33.69 градусам. Биссектриса этого угла будет направлена вверх-вправо.

Шаг 2: Найдем точку пересечения биссектрисы с осью x

Так как мы знаем направление биссектрисы первого и третьего координатных углов, мы можем предположить, что она пересекает ось x в точке (x;0).

Для нахождения координаты x нам нужно найти тангенс половины угла первого и третьего координатных углов и применить его к формуле:
\(x = \frac{{y}}{{\tan(\frac{{\theta}}{{2}})}}\), где \(\theta = 33.69\) градусов.

Подставив значения, мы получим:
\(x = \frac{{0}}{{\tan(\frac{{33.69}}{{2}})}} = \frac{{0}}{{0.6267}} \approx 0\).

Таким образом, точка пересечения биссектрисы с осью x имеет координаты (0;0).

Шаг 3: Построим симметричный треугольник А2В2С2

Чтобы построить симметричный треугольник, мы должны соединить каждую вершину исходного треугольника с ее симметричной вершиной относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сначала находим отрезок, соединяющий вершину А с точкой пересечения биссектрисы с осью x. Он будет проходить через основание треугольника АВ.

Точка пересечения биссектрисы с осью x имеет координаты (0;0), поэтому отрезок А2А будет проходить через точки (3;4) и (0;0).

Далее находим отрезок, соединяющий вершину В с точкой пересечения биссектрисы с осью x. Он будет проходить через основание треугольника ВС.

Точка пересечения биссектрисы с осью x имеет координаты (0;0), поэтому отрезок В2В будет проходить через точки (6;2) и (0;0).

Наконец, находим отрезок, соединяющий вершину С с точкой пересечения биссектрисы с осью x. Он будет проходить через боковую сторону треугольника СА.

Точка пересечения биссектрисы с осью x имеет координаты (0;0), поэтому отрезок С2С будет проходить через точки (1;1) и (0;0).

Теперь у нас есть треугольник А2В2С2, который является симметричным треугольнику АВС относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

в) Теперь рассмотрим треугольник А4В4С4, который получается при повороте треугольника АВС на 90 градусов по часовой стрелке вокруг основания высоты ВН.

Шаг 1: Найдем координаты основания высоты ВН

Для нахождения координат основания высоты нужно найти середину стороны АС.

Середина стороны АС будет иметь координаты ((x_A + x_C) / 2, (y_A + y_C) / 2). Подставим значения точек А(3;4) и С(1;1):
x_Н = (3 + 1) / 2 = 2
y_Н = (4 + 1) / 2 = 2.5

Таким образом, основание высоты ВН имеет координаты (2;2.5).

Шаг 2: Повернем треугольник АВС на 90 градусов по часовой стрелке вокруг основания высоты ВН

Для поворота точки (x,y) на 90 градусов по часовой стрелке вокруг точки (a,b), мы можем использовать следующие формулы:

\(x" = b + (y - b)\)
\(y" = a - (x - a)\)

Применим эти формулы к каждой вершине треугольника АВС.

Для вершины А(3;4), новые координаты будут:
\(x" = 2 + (4 - 2) = 4\)
\(y" = 2 - (3 - 2) = 1\)

Для вершины В(6;2), новые координаты будут:
\(x" = 2 + (2 - 2) = 2\)
\(y" = 2 - (6 - 2) = -2\)

Для вершины С(1;1), новые координаты будут:
\(x" = 2 + (1 - 2) = 1\)
\(y" = 2 - (1 - 2) = 3\)

Теперь у нас есть треугольник А4В4С4, который получается при повороте треугольника АВС на 90 градусов по часовой стрелке вокруг основания высоты ВН. Координаты полученных точек: A4(4;1), B4(2;-2), C4(1;3).

Пожалуйста, обратите внимание, что точки на чертежах не масштабированы, и некоторые могут быть приведены для наглядности.