Какова площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда с диагональю основания 5 см и диагоналями его боковых

Для решения данной задачи, нам понадобится знание формулы для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда. По определению, боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников.

Формула для расчета площади боковой поверхности параллелепипеда выглядит следующим образом:

\[ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - это стороны параллелепипеда.

Мы знаем, что диагональ основания параллелепипеда равна 5 см, а диагональ боковых граней равны 4√10 и 3√17 см.

Чтобы решить задачу, нам необходимо найти стороны параллелепипеда. Обозначим эти стороны через \(x\), \(y\) и \(z\).

Из геометрических свойств параллелепипеда можно сделать следующие наблюдения:

1) По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Поэтому, можем записать:

\[ x^2 + y^2 = (4\sqrt{10})^2 \]
\[ y^2 + z^2 = (3\sqrt{17})^2 \]
\[ z^2 + x^2 = 5^2 \]

2) По свойству параллелограмма, противоположные стороны параллелограмма равны. Из этого следует, что \(x = z\).

Используя эти наблюдения, можем составить систему уравнений и решить ее. Подставим \(x = z\) в систему:

\[ x^2 + y^2 = (4\sqrt{10})^2 \]
\[ y^2 + z^2 = (3\sqrt{17})^2 \]
\[ x^2 + x^2 = 5^2 \]

Подставим значения диагоналей:

\[ x^2 + y^2 = 160 \]
\[ y^2 + z^2 = 153 \]
\[ 2x^2 = 25 \]

Решая эту систему уравнений, получаем \(x = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\), \(y = \sqrt{160 - x^2} = \sqrt{160 - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2}\) и \(z = x\).

Теперь, подставляя значения сторон в формулу площади боковой поверхности параллелепипеда, получаем:

\[ S = 2 \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{160 - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} + \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} + \sqrt{160 - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}\right) \]

Подставив численные значения и упростив выражение, мы найдем площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.