Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если высота равна 2 и двугранный угол при основании

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h,\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(P\) - периметр основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Для начала, нам нужно найти периметр основания пирамиды. В данной задаче основание является равносторонним треугольником, что означает, что все его стороны имеют одинаковую длину.

Давайте назовем длину стороны основания \(a\). Так как у нас двугранный угол при основании равен 45 градусам, мы знаем, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусам. Это происходит из того, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

Теперь мы можем использовать формулу для периметра равностороннего треугольника:

\[P = 3a.\]

Мы можем найти длину стороны, используя формулу:
\[a = \frac{2h}{\sqrt{3}}.\]

Подставляя это значение в формулу периметра, мы получаем:

\[P = 3 \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{6h}{\sqrt{3}}.\]

Теперь, когда у нас есть значение периметра, мы можем продолжить и найти площадь боковой поверхности. Подставим значения \(P\) и \(h\) в формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{3h^2}{\sqrt{3}}.\]

В данном случае, высота пирамиды равна 2, поэтому мы можем подставить это значение в формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{3 \cdot 2^2}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}.\]

Чтобы упростить ответ, мы можем умножить и разделить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[S_{\text{бок}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}.\]

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(4 \sqrt{3}\).