Какова площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, если периметр её основания равен

Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Первым шагом нам необходимо найти длину ребра основания пирамиды. Для этого мы можем использовать информацию о периметре основания.

Периметр основания равен сумме всех его сторон. Пусть сторона основания равна \(a\). Так как основание четырехугольное, то у него четыре стороны одинаковой длины \(a\).

Итак, имеем уравнение:
\[4a = 60\]

Делим обе части уравнения на 4, чтобы найти значение \(a\):
\[a = \frac{60}{4}\]
\[a = 15\]

Таким образом, длина ребра основания пирамиды равна 15.

2. Вторым шагом нам необходимо найти высоту пирамиды. Мы знаем, что двугранный угол при ребре основания составляет \(arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\). Для нахождения высоты пирамиды мы можем использовать тригонометрию.

Обозначим высоту пирамиды как \(h\). Мы можем записать следующее соотношение:
\[\sin\left(arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right) = \frac{h}{15}\]

Так как \(\sin\) и \(\arcsin\) являются обратными функциями, они сокращают друг друга. Получаем:
\[\frac{8}{17} = \frac{h}{15}\]

Перемножаем обе части уравнения на 15:
\[15 \cdot \frac{8}{17} = h\]
\[h = \frac{120}{17}\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(\frac{120}{17}\).

3. Теперь, когда у нас есть длина ребра основания и высота пирамиды, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Обозначим площадь боковой поверхности как \(S\). Мы можем использовать следующую формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot \text{высоту}\]

Подставляем известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{120}{17}\]

Упрощаем:
\[S = \frac{60 \cdot 120}{2 \cdot 17}\]
\[S = \frac{3600}{17}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{3600}{17}\).