1. Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 9 см и 40 см? Каковы значения sinA, cosA

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и решим их.

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данной задаче у нас есть данные: катеты равны 9 см и 40 см.

По теореме Пифагора:

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = \text{{катет 1}}^2 + \text{{катет 2}}^2
\]
\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 9^2 + 40^2
\]
\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 81 + 1600
\]
\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 1681
\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти длину гипотенузы:

\[
\text{{гипотенуза}} = \sqrt{1681}
\]
\[
\text{{гипотенуза}} \approx 41 \, \text{{см}}
\]

Теперь посмотрим на значения sinA, cosA, tgB и ctgB:

Мы знаем, что \(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), что в данном случае будет равно \(\sin(\text{{угла }} A) = \frac{{9}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), где угол A - это угол между гипотенузой и катетом 9 см.

Подставим значения:

\(\sin(\text{{угла }} A) = \frac{{9}}{{41}}\)

Аналогично, \(\cos(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), поэтому \(\cos(\text{{угла }} A) = \frac{{40}}{{41}}\).

Для нахождения tgB, мы можем использовать формулу \(\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\). В этом случае tgB будет равным \(\tan(\text{{угла }} B) = \frac{{9}}{{40}}\).

Наконец, чтобы найти ctgB, мы можем использовать формулу \(\cot(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{противолежащий катет}}}}\). Так что ctgB будет равным \(\cot(\text{{угла }} B) = \frac{{40}}{{9}}\).

2. В этой задаче у нас есть сторона ВС, равная 22, и косинус угла B, равный \( \frac{1}{4} \). Мы хотим найти неизвестные стороны треугольника АВС.

У нас есть формула косинусов, которая говорит, что для любого треугольника:

\[
\text{{сторона}}^2 = \text{{другая сторона}}^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \cos(\text{{угол}})
\]

Мы можем применить эту формулу дважды, заменив неизвестные стороны соответственно. Итак, для стороны АВ:

\[
\text{{сторона АВ}}^2 = \text{{сторона ВС}}^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot \text{{сторона ВС}} \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \cos(\text{{угол}})
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{{сторона АВ}}^2 = 22^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot 22 \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \frac{1}{4}
\]

Теперь для стороны АС:

\[
\text{{сторона АС}}^2 = \text{{сторона ВС}}^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot \text{{сторона ВС}} \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \cos(\text{{угол}})
\]

Подставим известные значения:

\[
\text{{сторона АС}}^2 = 22^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot 22 \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \frac{1}{4}
\]

Поэтому стороны АВ и АС равны:

\[
\text{{сторона АВ}} \approx \sqrt{22^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot 22 \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \frac{1}{4}}
\]
\[
\text{{сторона АС}} \approx \sqrt{22^2 + \text{{другая сторона}}^2 - 2 \cdot 22 \cdot \text{{другая сторона}} \cdot \frac{1}{4}}
\]

3. В этом равнобедренном треугольнике у нас есть боковая сторона длиной 10 см и проведенная к основанию высота длиной 8 см. Мы хотим найти длину основания треугольника.

В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию, будет являться медианой и биссектрисой, а также, так как треугольник равнобедренный, то высота будет делить его на два равных прямоугольных треугольника.

Используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, мы можем найти длину основания треугольника.

Так как высота делит его на два прямоугольных треугольника, то длина основания будет в два раза больше половины оного из прямоугольных треугольников.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 8 см и \( \frac{10}{2} = 5 \) см, находим длину гипотенузы:

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 5^2 + 8^2
\]
\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 25 + 64
\]
\[
\text{{гипотенуза}}^2 = 89
\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы получить длину гипотенузы:

\[
\text{{гипотенуза}} = \sqrt{89}
\]

Таким образом, длина основания треугольника будет равна половине найденной гипотенузы:

\[
\text{{длина основания}} = \frac{\sqrt{89}}{2}
\]

4. В этой задаче у нас есть отношение сторон прямоугольника и его диагональ. Мы хотим найти длину большей стороны прямоугольника.

По формуле Пифагора для прямоугольного треугольника, где стороны прямоугольника — это катеты, и диагональ - это гипотенуза, мы получаем:

\[
\text{{диагональ}}^2 = \text{{сторона 1}}^2 + \text{{сторона 2}}^2
\]

Мы также знаем, что отношение сторон прямоугольника составляет 6:8, что можно упростить до 3:4:

\[
\text{{сторона 1}} = 3x \quad \text{{и}} \quad \text{{сторона 2}} = 4x
\]

Подставим значения в формулу Пифагора:

\[
\text{{диагональ}}^2 = (3x)^2 + (4x)^2
\]
\[
\text{{диагональ}}^2 = 9x^2 + 16x^2
\]
\[
\text{{диагональ}}^2 = 25x^2
\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти длину диагонали:

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{25x^2}
\]
\[
\text{{диагональ}} = 5x
\]

Мы знаем, что длина диагонали равна 10 см, поэтому:

\[
5x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

Теперь мы можем найти длину большей стороны:

\[
\text{{сторона 2}} = 4x = 4 \cdot 2 = 8
\]

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника равна 8 см.

5. В этой задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в С. Длина стороны АВ равна 5 см, а sinА уже известен (но не был указан в вопросе). Так как sinА неизвестен, мы не можем решить эту задачу без дополнительной информации. Если у вас есть другие данные или вы забыли указать значение, пожалуйста, сообщите мне это, и я буду рад помочь вам решить эту задачу.