Какова площадь боковой поверхности пирамиды, если ее основание - квадрат со стороной 12 см, а одно из боковых ребер

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы для вычисления площади боковой поверхности пирамиды. Так как пирамида имеет квадратное основание, то ее боковые грани также будут являться квадратами. Площадь одной боковой грани пирамиды можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{бок}} = a \times h,\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(a\) - длина стороны основания квадрата, \(h\) - высота пирамиды.

В данной задаче известна длина стороны квадрата, равная 12 см. Остается найти значение высоты пирамиды. Для этого нам понадобится использовать теорему Пифагора.

Поскольку одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, оно будет образовывать прямоугольный треугольник с высотой пирамиды и половиной стороны основания. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты пирамиды.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

В нашем случае \(a\) равно половине стороны основания, то есть 6 см, а \(c\) равно длине бокового ребра пирамиды, значение которого нам неизвестно.

Подставим известные значения в формулу:

\[c^2 = 6^2 + h^2.\]

Теперь нам нужно найти значение высоты пирамиды \(h\). Для этого вычтем из обеих сторон уравнения 36:

\[c^2 - 36 = h^2.\]

Зная длину одного из боковых ребер пирамиды, мы можем продолжить вычисления.

Из описания задачи следует, что одно из боковых ребер имеет длину 15 см. Подставим это значение в уравнение:

\[15^2 - 36 = h^2.\]

Выполним вычисления:

\[225 - 36 = h^2,\]

\[189 = h^2.\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти значение высоты пирамиды:

\[h = \sqrt{189} \approx 13.75 \, \text{см}.\]

Итак, мы нашли значение высоты пирамиды \(h \approx 13.75\) см. Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, мы можем использовать формулу \(S_{\text{бок}} = a \times h\), где \(a\) - длина стороны основания квадрата, а \(h\) - высота пирамиды.

Подставим известные значения:

\[S_{\text{бок}} = 12 \times 13.75 = 165 \, \text{см}^2.\]

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна 165 квадратных сантиметров.