Какова площадь боковой поверхности конуса, который вписан в данную пирамиду с прямоугольным треугольником основания

Для решения данной задачи, мы сначала найдем высоту пирамиды, а затем, используя полученные данные, найдем площадь боковой поверхности вписанного конуса.

1. Найдем высоту пирамиды.
Для этого мы воспользуемся теоремой Пифагора, применимой к прямоугольному треугольнику основания.
Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\), справедливо следующее уравнение:
\(a^2 + b^2 = c^2\)

В данной задаче у нас заданы катеты, длиной 8 см и 15 см. Нам нужно найти гипотенузу, которая является высотой пирамиды. Поэтому можем записать уравнение:
\(8^2 + 15^2 = c^2\)

Решим это уравнение:
\(64 + 225 = c^2\)
\(289 = c^2\)

Из этого получаем:
\(c = \sqrt{289} = 17\)
Таким образом, высота пирамиды равна 17 см.

2. Найдем радиус вписанного конуса.
Для этого нам понадобится использовать свойство подобия тетраэдров. В нашем случае пирамида и конус являются вписанными в один тетраэдр, поэтому их отношение сторон равно.
Мы знаем, что угол между ребром и боковой гранью пирамиды равен 45°, поэтому у нас есть две прямоугольные треугольные грани со сторонами 8 см, 15 см и гипотенузами \(r\) и \(h\), где \(r\) - радиус конуса, а \(h\) - высота пирамиды.

Мы можем записать уравнение:
\(\frac{r}{8} = \frac{h}{15}\)

Зная, что \(h = 17\), можем найти \(r\):
\(\frac{r}{8} = \frac{17}{15}\)
\(17r = 8 \cdot 15\)
\(17r = 120\)
\(r = \frac{120}{17}\)

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы:
\(S = \pi \cdot r \cdot l\)
где \(l\) - образующая конуса.

Образующую \(l\) можно найти с помощью теоремы Пифагора:
\(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)

Подставим известные значения в формулу:
\(l = \sqrt{\left(\frac{120}{17}\right)^2 + 17^2}\)
\[l = \sqrt{\frac{120^2}{17^2} + 289}\]
\(l = \sqrt{\frac{14400}{289} + 289}\)
\(l = \sqrt{\frac{14400 + 289 \cdot 289}{289}}\)
\(l = \sqrt{\frac{14400 + 83521}{289}}\)
\(l = \sqrt{\frac{97921}{289}}\)
\(l = \sqrt{339}\)

Теперь, используя найденные значения \(r\) и \(l\), мы можем найти площадь боковой поверхности конуса:
\(S = \pi \cdot \frac{120}{17} \cdot \sqrt{339}\)

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду с прямоугольным треугольником основания, равна \( \pi \cdot \frac{120}{17} \cdot \sqrt{339} \) квадратных сантиметров (или примерно равна \(\pi \cdot 480 \approx 1507.96\) квадратных сантиметров).