Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна радиусу основания и площадь боковой поверхности

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\[S_{\text{бп}} = 2\pi r h\]

где \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности цилиндра, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основания цилиндра и \(h\) - высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[S_{\text{бп}} = \pi r l\]

где \(S_{\text{бп}}\) - площадь боковой поверхности конуса, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основания конуса и \(l\) - образующая конуса.

В данной задаче нам известно, что площадь боковой поверхности конуса равна \(41\sqrt{2}\), что можно записать следующим образом:

\[S_{\text{бп, конуса}} = 41\sqrt{2}\]

Также из условия задачи следует, что высота цилиндра равна радиусу основания, то есть \(h = r\).

Мы можем использовать этот факт для того, чтобы выразить радиус основания конуса через его образующую. Образующая и радиус связаны следующим образом:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

В нашем случае \(l = \sqrt{r^2 + r^2} \Rightarrow l = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2}r\).

Подставим это выражение для образующей в формулу площади боковой поверхности конуса:

\[S_{\text{бп, конуса}} = \pi r l = \pi r \cdot \sqrt{2}r = \sqrt{2}\pi r^2\]

Теперь нам осталось найти радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся известным нам равенством:

\[S_{\text{бп, цилиндра}} = 2\pi r h\]

Мы знаем, что высота цилиндра равна радиусу основания, поэтому выражаем радиус через площадь боковой поверхности цилиндра:

\[S_{\text{бп, цилиндра}} = 2\pi r^2 = \sqrt{2}\pi r^2\]

Теперь мы имеем уравнение, связывающее площадь боковой поверхности цилиндра и площадь боковой поверхности конуса.

Подставим известное нам значение площади боковой поверхности конуса в это уравнение:

\[\sqrt{2}\pi r^2 = 41\sqrt{2}\]

Теперь решим это уравнение относительно радиуса \(r\). Для этого делим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\pi\):

\[r^2 = \frac{41\sqrt{2}}{\sqrt{2}\pi} = \frac{41}{\pi}\]

Чтобы выразить радиус \(r\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt{\frac{41}{\pi}} \approx 3.221\]

Теперь, когда у нас есть радиус основания цилиндра, можем найти площадь его боковой поверхности.

Подставляем известные значения радиуса и высоты в формулу:

\[S_{\text{бп, цилиндра}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3.221 \cdot 3.221 \approx 64.454\]

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра составляет примерно 64.454 квадратных единицы.