Какова первоначальная величина спроса на данный товар, если точечная эластичность спроса равна -3 и количество

Для решения данной задачи по определению первоначальной величины спроса необходимо использовать формулу эластичности спроса:

\[Эластичность\ спроса = \frac{Процентное\ изменение\ количества\ спроса}{Процентное\ изменение\ цены}\]

Мы знаем точечную эластичность спроса \(-3\), что означает, что при увеличении цены на \(1\%\), количество спроса снижается на \(3\%\).

Дано, что количество продаваемых товаров увеличилось до \(206\) штук вследствие снижения цены. Предположим, что исходная цена была \(P_0\), а новая цена составила \(P_1\).

Процентное изменение количества спроса можно выразить следующим образом:

\[\frac{206 - Q_0}{Q_0} \times 100\%\]

где \(Q_0\) - первоначальное количество товара.

Процентное изменение цены составит:

\[\frac{P_1 - P_0}{P_0} \times 100\%\]

По определению точечной эластичности спроса снижение цены на \(1\%\) приводит к увеличению спроса на \(3\%\). Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{206 - Q_0}{Q_0} \times 100\% = (-3) \times \frac{P_1 - P_0}{P_0} \times 100\%\]

Далее, исключим процентные значения и решим уравнение:

\[206 - Q_0 = -3 \times \frac{P_1 - P_0}{P_0} \times Q_0\]

\[206 - Q_0 = -3 \times \frac{P_1 - P_0}{P_0} \times Q_0\]

Для удобства расчетов, предположим, что цена товара вначале составляла 100 единиц, тогда \(P_0 = 100\). Подставим значения:

\[206 - Q_0 = -3 \times \frac{P_1 - 100}{100} \times Q_0\]

Далее, решим уравнение относительно первоначального спроса \(Q_0\):

\[206 - Q_0 = -\frac{3}{100} (P_1 - 100) Q_0\]

Перенесем все члены, связанные с \(Q_0\) в левую часть уравнения и все остальные в правую часть:

\[206 = Q_0 - \frac{3}{100} (P_1 - 100) Q_0\]

\[206 = Q_0(1 - \frac{3}{100} (P_1 - 100))\]

Теперь найдем значение \(Q_0\), разделив обе части уравнения на скобку:

\[Q_0 = \frac{206}{1 - \frac{3}{100} (P_1 - 100)}\]

Таким образом, первоначальная величина спроса \(Q_0\) равна \(\frac{206}{1 - \frac{3}{100} (P_1 - 100)}\).