Какова первая космическая скорость Луны, если известно, что отношение радиусов Земли и Луны составляет 3.7, а отношение

Для решения этой задачи нам понадобятся законы движения тел и закон всемирного тяготения.

Первым шагом определим, как связана между собой кинетическая энергия и потенциальная энергия тела, движущегося в гравитационном поле. Потенциальная энергия тела массой \(m\) на высоте \(h\) относительно поверхности планеты или спутника выражается формулой:

\[P = mgh,\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота. Кинетическая энергия определяется как половина произведения массы на квадрат скорости:

\[K = \frac{1}{2}mv^2.\]

В состоянии свободного движения кинетическая энергия равна потенциальной, поэтому можно записать:

\[K = P.\]

При движении на большую высоту потенциальная энергия увеличивается, и, соответственно, увеличивается и кинетическая энергия. При движении с некоторой скоростью \(v\), достигается состояние, когда потенциальная и кинетическая энергии снова равны друг другу. Эта скорость называется первой космической скоростью.

Теперь, чтобы найти первую космическую скорость Луны, мы можем использовать закон всемирного тяготения. Согласно этому закону, сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[F = \frac{G \cdot M_1 \cdot M_2}{r^2},\]

где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_1\) и \(M_2\) - массы тел (в данном случае масса Земли и Луны), а \(r\) - расстояние между ними (в данном случае радиусы).

Мы знаем, что отношение радиусов Земли и Луны составляет 3.7, то есть \(r_1 = 3.7 \cdot r_2\). Также известно, что отношение их масс равно 81, то есть \(M_1 = 81 \cdot M_2\).

Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{M_1 \cdot v_1^2}{r_1} = \frac{G \cdot M_1 \cdot M_2}{r_2^2}.\]

Здесь \(v_1\) - искомая первая космическая скорость Луны. Подставим значения, чтобы найти \(v_1\):

\[\frac{(81 \cdot M_2) \cdot v_1^2}{3.7 \cdot r_2} = \frac{G \cdot (81 \cdot M_2) \cdot M_2}{r_2^2}.\]

Сокращаем на \(81 \cdot M_2\):

\[\frac{v_1^2}{3.7 \cdot r_2} = \frac{G \cdot M_2}{r_2^2}.\]

Используем данную информацию о первой космической скорости Земли (\(v_2\)) и радиусе Земли (\(r_2\)), подставляем эти значения:

\[\frac{8^2}{3.7 \cdot r_2} = \frac{G \cdot M_2}{r_2^2}.\]

Известно, что возьмём \(G \cdot M_2\) за постоянную и обозначим эту величину как \(K\):

\[\frac{8^2}{3.7 \cdot r_2} = \frac{K}{r_2^2}.\]

Перегруппируем формулу и получим выражение для первой космической скорости Луны:

\[v_1^2 = \frac{K \cdot r_2^2}{3.7}.\]

Для того чтобы найти \(v_1\), нужно взять квадратный корень из полученного выражения:

\[v_1 = \sqrt{\frac{K \cdot r_2^2}{3.7}}.\]

Теперь, подставим известные значения:

\[v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M_2 \cdot r_2^2}{3.7}}.\]

Используя известные значения физических постоянных \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\) и массу Земли \(M_2 = 5.97219 \times 10^{24} \, \text{кг}\), а также радиус Земли \(r_2 = 6.371 \times 10^6 \, \text{м}\), посчитаем \(v_1\):

\[v_1 = \sqrt{\frac{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.97219 \times 10^{24} \cdot (3.7 \cdot 6.371 \times 10^6)^2}{3.7}}.\]

Подставим числовые значения и рассчитаем первую космическую скорость Луны:

\[v_1 \approx 1.08 \times 10^4 \, \text{м/с}.\]

Таким образом, первая космическая скорость Луны составляет примерно \(1.08 \times 10^4\) м/с.