Какова обыкновенная дробь, эквивалентная бесконечной периодической десятичной дроби 0,2(59)? Необходимо представить

Чтобы определить эквивалентную обыкновенную дробь для периодической десятичной дроби 0,2(59), нам нужно воспользоваться методом преобразования периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. Давайте разберемся.

Шаг 1: Пусть \(x\) - периодическая десятичная дробь, которую мы хотим преобразовать в обыкновенную дробь. В данном случае \(x = 0,2(59)\).

Шаг 2: Пусть \(y\) - обыкновенная дробь, эквивалентная периодической десятичной дроби \(x\) (как в данной задаче). То есть, нам нужно найти \(y\), такое что \(y = x\).

Шаг 3: Чтобы преобразовать \(x\) в обыкновенную дробь \(y\), мы можем выразить \(x\) как сумму двух частей: непериодической части и периодической части. То есть, \(x = a + b\), где \(a\) - непериодическая часть, а \(b\) - периодическая часть.

Шаг 4: Найдем \(a\). Обратите внимание, что непериодическая часть находится перед открывающей скобкой в периодической десятичной дроби. В данном случае \(a = 0,2\).

Шаг 5: Найдем \(b\). Чтобы найти периодическую часть, мы представим периодическую десятичную дробь в виде уравнения и решим его. В данном случае, пусть \(y\) - периодическая десятичная дробь:

\[y = 0,2(59)\]

Умножим обе стороны на \(10\), чтобы избавиться от периода:

\[10y = 2,5959\]

Затем вычтем уравнения:

\[10y - y = 2,5959 - 0,259\]

Упростим:

\[9y = 2,3369\]

Теперь разделим обе стороны на \(9\), чтобы найти значение \(y\):

\[y = \frac{2,3369}{9}\]

Шаг 6: В итоге, мы получаем обыкновенную дробь \(y\), которая эквивалентна периодической десятичной дроби \(0,2(59)\):

\[y = \frac{2,3369}{9}\]

Данную дробь представить без сокращения нельзя, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. То есть, \(\frac{2,3369}{9}\) является наименее упрощённой формой данной дроби.