Какова область значений функции y = 2x^2 - 0.8x + 0.01? Ответ: 2. Какова область значений функции y = -x^2 + 3x + 1.75?

Для определения области значений функций нам нужно найти минимальное и максимальное значение \(y\) при заданных условиях.

Для функции \(y = 2x^2 - 0.8x + 0.01\) начнем с того, что максимальное значение достигается в ветвях параболы, которая открывается вверх. Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) равно коэффициенту при \(x^2\), а \(b\) равно коэффициенту при \(x\). В данном случае \(a = 2\) и \(b = -0.8\).

Заменим эти значения в формуле и найдем \(x\):
\[x = -\frac{-0.8}{2\times2} = \frac{0.8}{4} = 0.2\]

Теперь найдем \(y\) при \(x = 0.2\):
\[y = 2\times0.2^2 - 0.8\times0.2 + 0.01 = 0.08 - 0.16 + 0.01 = -0.07\]

Следовательно, наша парабола не имеет реальных корней и ее ветви направлены вверх. Это значит, что область значений функции \(y = 2x^2 - 0.8x + 0.01\) равна всем положительным числам выше или равным -0.07. Таким образом, ответ на задачу: область значений функции равна \([-0.07, +\infty)\).

Теперь рассмотрим функцию \(y = -x^2 + 3x + 1.75\). Ее график также представляет собой параболу, но на этот раз ветви открыты вниз. Повторим рассуждения, чтобы найти минимальное значение функции.

Найдем координаты вершины параболы:
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2\times(-1)} = \frac{3}{2}\]

Теперь найдем \(y\) при \(x = \frac{3}{2}\):
\[y = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\times\frac{3}{2} + 1.75 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1.75 = \frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{7}{4} = \frac{34}{4} = 8.5\]

Таким образом, наша парабола имеет вершину в точке \(\left(\frac{3}{2}, 8.5\right)\) и ее ветви направлены вниз. Это значит, что область значений функции \(y = -x^2 + 3x + 1.75\) равна всем отрицательным числам до или равным 8.5. Таким образом, ответ на задачу: область значений функции равна \((-\infty, 8.5]\).